엔지니어가 되고 싶은 공돌이

14. 1. 리차드슨 외삽법(Richardson Extrapolation) - Richardson Extrapolation: f’(x)의 오차를 O(h2)[Central Diffenence Formula]에서 O(h4)로 향상 시켜서 수렴속도를 가속화 시키는 방법이다.     14. 2. 수치적분(Numerical Integration) - 수치적분법은 정적분을 대수적으로 구하기 어려울 때 사용한다.   - f(x)는 넓이를 구하고자 하는 함수이고, w(x)(w(x) > 0)는 가중치함수(Weighting Function)이다. - 구간 [a, b]를 n+1등분하여 Integral의 근사값을 구하면 다음과 같다.   - 위 방법을 수치적분이라 부른다. 여기서 xi는 마디점(node), wi(weight)..

13. 1. 테일러 수치미분법(Talyor’s Numerical Differentiation) - 전향수치미분식(Forward Diffenence Formula): {f(x + h) – f(x)} / h -> O(h). - 후향수치미분식(Backward Diffenence Formula): {f(x) – f(x - h)} / h -> O(h). - 중앙수치미분식(Central Diffenence Formula): {f(x + h) – f(x - h)} / 2h -> O(h2).   중앙수치미분식으로 구한 근사값이 나머지 두 방법보다 더 빨리 참값에 근접한다. - h의 크기를 계속 줄여나가면서 근사값을 참값에 근접시킨다.  - f(x)를 테일러 정리로 표현하면    - 2차 도함수의 중앙수치미분식(Cent..

12. 1. 스플라인 함수(Spline Function) - Spline Function: 주어진 구간을 여러 개의 소구간으로 나누고, 각 소구간을 차수가 낮은 다항식으로 표현한 후 각 소구간을 연속적으로 연결한 함수.  - 1st Degree Spline Function.   [a, b]를 [ti , ti+1]으로 나누고 Si(x)를 Linear Polynomial으로 구한 뒤 연결한다.   - 2nd Degree Spline Function.   [a, b]를 [ti , ti+1]으로 나누고 Si(x)를 Quadratic Polynomial으로 구한 뒤 연결한다. 이 때 S(x)와 S’(x)는 연속이어야 한다.   - t는 나누어진 구간을, y는 해당 t에서의 함수값을, z는 초기값으로 주어지고 이후..

11. 1. 뉴턴의 분할차분법(Newton’s Interpolator Divided Difference Formula)      - Differences between Lagrange interpolation and Newton interpolation.   1) 같은 점을 지나는 Lagrange interpolation과 Newton interpolation은 같다.   2) 한 점이 추가되면 Lagrange interpolation은 처음부터 구해야하지만 Newton interpolation은 이전의 식에 추가만 하면 된다.   3) Newton interpolation은 Lagrange interpolation보다 계산량이 적다.

10. 1. 라그랑주 보간법(Lagrange Interpolation) - Interpolation: 주어진 자료를 만족하는 함수 P(x)를 찾고, 자료에 없는 새로운 점 x_bar 에서 기대값 P(x_bar) 를 찾는 방법.  1) 서로 다른 n + 1개의 점을 지나는 n차 다항식(nth Degree Polynomial)은 단 1개 존재한다.     (x0, y0), (x1, y1)으로 유일한 1차 다항식을 구할 수 있다.       (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) 으로 유일한 2차 다항식을 구할 수 있다.   2) 서로 다른 n + 1개의 점을 지나는 n차 보간 다항식(nth Degree Interpolation Polynomial)은    - 라그랑주 보간법의 장단점(pros a..

9. 1. 뉴턴법(Newton Method)  - Newton Method는 초기값이 근에 충분히 가까이 있다면 항상 수렴한다. 그러나 초기값이 멀리 떨어져 있다면 수렴이 보장되지 않고 발산하거나 진동할 수 있다.   9. 2. 할선법(Secant Method) - Secant Method: f’(x) 대신 xn 과 xn-1 의 평균변화률을 이용한다. - 2개의 초기값이 필요하고, Newton Method에 비해 수렴속도가 느리다. - 초기값이 근에 가까이 있지 않다면 수렴이 보장되지 않는다.     9. 3. 고정점 반복법(Fixed Point Iteration) - f(x) = 0의 해를 구하는 문제를 여러가지 방법으로 적당한 함수 g(x)(기존 f(x)에서 x에 대하여 정리)를 택하여서 x = g(..

8. 1. 이분법(Bisection Method) - 5차 이상의 방정식은 그 미만의 방정식들처럼 대수적으로 해를 구할 수 없다. 일반적으로 근사해를 구해서 사용한다. - 중간값 정리(Intermediate Value Theorem): 함수 f(x)가 [a, b]에서 연속이고, f(a)f(b)   - Bisection Method Algorithm.   f(a)f(b)    for n = 1, 2, ….   1) c = (a + b) / 2.   2) 만약 | f(c) | ≤ ε or |b - c| ≤ ε 이면 반복을 중지한다.   3) f(a)f(c) ≤ 0 이면 a = a, b = c 로 정한다.       f(a)f(c) > 0 이면 a = c, b = b 로 정한다.   8. 2. 오차조정법(Re..

7. 1. 고유값과 고유벡터(Eigenvalue and Eigenvector) - Ax = λx 를 만족하는 0이 아닌 벡터가 존재하면, Scalar λ를 A의 고유값(Eigenvalue)라 부르고, x를 λ에 대응하는 A의 고유벡터(Eigenvector)라 부른다. - 고유공간(Eigenspace): 영 벡터와 고유값 λ에 대응하는 모든 고유벡터의 집합.  1) 고유값 계산(Eigenvalue Calculation).   - 고유방정식(= 특성방정식, Characteristic Equation): det(A - λI) = 0.   - 고유방정식의 해가 Eigenvalue이다.  2) 고유벡터 계산(Eigenvector Calculation).   - (A - λiI)x = 0에 대응하는 벡터 x.  -..

6. 1. 야코비 반복법(Jacobi Method) - 반복법(Iteration Method): Ax = b 에서 A = N – P 이고, || N-1P || (0) 에 대하여 Nx(k) = Px(k-1) + b 의 해 x(k) 는 Ax = b의 해에 수렴한다. - 행렬의 LDU 분해(LDU Decomposition of Matrix): A 행렬을 Lower Triangular Matrix(L), Diagonal Matrix(D), Upper Triangular Matrix(U)의 합으로 나타낼 수 있다.    - Jacobi Method.  6. 2. 가우스-사이델 반복법(Gauss-Seidel Method)  - 일반적으로 Gauss-Seidel Method 가 Jacobi Method 보다 더 빨리..

5. 1. 노름(Norm) - System of Lienar Equation의 Augmented Matrix가 크면, Gauss Elimination or LU Decomposition Method은 오차가 누적되어 해의 정밀도가 떨어지게 되고, 시간도 오래 걸리게 된다. 또한 성분에 0이 많은 경우 연산의 수를 줄이지 못한다 - Iteration Method는 성분에 0이 많은 경우 효과적으로 해를 구할 수 있다.  - 노름(Norm): 벡터나 행렬의 크기. or 벡터에 절댓값을 씌운 것. - 다음 조건을 만족하면 Vector Norm이라고 한다.   1) all x에 대하여 || x || ≥ 0.   2) || x || = 0 이면, x = 0 이고 그 역도 성립한다.   3) real number ..