06. 선형방정식의 반복법(Iteration Method of Linear Equation)

 

6. 1. 야코비 반복법(Jacobi Method)

 

- 반복법(Iteration Method): Ax = b 에서 A = N – P 이고, || N^-1P || < 1 이면 행렬 A는 역행렬이 존재하고, 임의의 초기벡터 x⁽⁰⁾ 에 대하여 Nx^(k) = Px^(k-1) + b 의 해 x^(k) 는 Ax = b의 해에 수렴한다.

 

- 행렬의 LDU 분해(LDU Decomposition of Matrix): A 행렬을 Lower Triangular Matrix(L), Diagonal Matrix(D), Upper Triangular Matrix(U)의 합으로 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

- Jacobi Method.

 

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6. 2. 가우스-사이델 반복법(Gauss-Seidel Method)

 

 

- 일반적으로 Gauss-Seidel Method 가 Jacobi Method 보다 더 빨리 수렴하지만, 그렇지 않은 경우도 있다.

 

 

 

- Properties of Gauss-Seidel Method.

 

  1) 행렬의 대각성분의 절대값이 그 행의 대각성분을 제외한 나머지 성분의 절대값의 합보다 클 때 이 행렬을 강대각지배행렬(Diagonally Dominant Matrix)이라 부른다.

 

  2) Diagonally Dominant Matrix이면, 임의의 초기벡터에 대해 Jacobi, Gauss-Seidel Method로 해를 구할 수 있다.

 

  3) Symmetric Matrix A가 Positive Definite를 가지면 임의의 초기벡터에 대해 Gauss-Seidel Method로 해를 구할 수 있다.

 

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6. 3. SOR 반복법(SOR Method)

 

- Gauss-Seidel Method를 개선한 방법으로 ω(완화변수, Relaxation Parameter)를 이용한다.

 

 

 

- properties of ω.

 

  1) ω = 1 이면 Gauss-Seidel Method 와 동일하다.

 

  2) 일반적으로 0 < ω < 2 에서 값을 선택한다.

 

  3) Successive Under Relaxation: 0 < ω < 1인 경우로 Gauss-Seidel 방법으로 수렴하지 않을 때 해를 구하기 위해 사용한다.

 

  4) Successive Over Relaxation(SOR): ω > 1인 경우로 Gauss-Seidel 방법의 수렴속도를 가속화 하기 위해 사용한다.

 

 

- Matrix A가 Positive Definite 이고, 0 < ω < 2 이면 임의의 초기벡터에 대하여 SOR Method로 해를 구할 수 있다.

 

 

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