엔지니어가 되고 싶은 공돌이

15. 1. 그람-슈미트 직교화 과정(Gram-Schmidt Process) - 일반 기저(x)가 주어졌을 때, 이 기저를 직교기저(v) 또는 정규직교기저로 바꾸는 방법.   1) v1 = x1.   2) v2 = x2 – ( x2 · v1 / | v1 |2 ) vector v1.   3) v3 = x3 - ( x3 · v1 / | v1 |2 ) vector v1 - ( x3 · v2 / | v2 |2 ) vector v2.   … - 위 방법을 반복하면 직교기저를 구할 수 있고, 각각의 벡터를 자신의 크기로 나누면 정규직교기저가 된다.  - A가 선형독립인 열 벡터로 이루어진 m X n 행렬이라면 A는 A = QR로 분해 될 수 있다.   Q: Gram-Schmidt Process 로 정규직교기저로 바..

14. 1. 내적, 직교, 직교집합(Inner Product, Orthogonal, Orthogonal Set) - 직교 여공간(Orthogonal Complements, Wㅗ): 어떤 벡터 z가 Rn의 부분공간 W에 있는 모든 벡터와 직교하면 z는 W공간에 직교한다고 말하며, 이런 모든 z의 집합을 W의 직교 여공간(Orthogonal Complements)이라 부른다. - 직교집합(Orthogonal Set): 벡터의 집합이 있을 떄, 그 집합의 서로 다른 두 벡터에 대한 내적이 0이면, 그 집합을 직교집합(Orthogonal Set)이라 부른다.  - 직교기저(Orthogonal Basis): 직교집합은 서로 독립이므로 부분공간을 생성할 때 기저가 된다. - 정규직교집합(Orthonormal Set..

13. 1. 대각화(Diagonalization) - n-square Matrix A와 닮은 행렬 D = P-1AP가 있을 때, A를 대각행렬이 되게 하는 가역행렬 P가 존재할 때, A는 대각화 가능이라 하고, P는 A를 대각화한다고 한다.  - 대각화 과정(Diagonalization Process).   1) n-square Matrix A의 Eigenvalue와 각 Eigenvalue에 해당하는 Eigenvector를 구한다.   2) Eigenvector n개가 선형독립이면 대각화를 진행하고, 그렇지 않으면 중단한다.   3) n개의 Eigenvector로 P 를 만든다.   4) D의 대각원소는 P 의 Eigenvector에 해당하는 Eigenvalue 이다.    13. 2. 고유합, 행렬의 ..

12. 1. 고유값과 고유벡터(Eigenvalue and Eigenvector) - Ax = λx 를 만족하는 0이 아닌 벡터가 존재하면, Scalar λ를 A의 고유값(Eigenvalue)라 부르고, x를 λ에 대응하는 A의 고유벡터(Eigenvector)라 부른다. - Eigenvector x는 선형변환을 해도 그 결과가 같은 벡터로, Eigenvalue에 따라 늘어나거나, 축소하거나, 방향만 변하고, 나머지 성질은 변하지 않는 벡터이다. - 고유공간(EigenSpace): 영 벡터와 고유값 λ에 대응하는 모든 고유벡터의 집합.  1) 고유값 계산(Eigenvalue Calculation). - 고유방정식(= 특성방정식, Characteristic Equation): det(A - λI) = 0. -..

11. 1. 선형변환의 기하학적 의미(Geometric Meaning of Linear Transformation) - Linear Transformation은 입력된 벡터를 특정한 성질을 만족하는 행렬 A와 곱하여 다른 벡터를 만들어 내는 과정을 말한다. - Linear Transformation T:Rn -> Rn 의 길이가 보존되는 성질 | T(x) | = | x |를 만족할 때, T를 직교작용소(Orthogonal Operator)라 부른다. - | T(x) | = | x | T(x)T(y) = x · y. [Inner Product Conservation]. - Orthogonal Operator는 길이를 보존하고, 내적 연산을 보존하고, 각을 보존할 수 있다.  - 직교행렬(Orthogona..

10. 1. 선형변환과 행렬(Linear Transformation and Matrix) - 입력과 출력이 모두 vector인 함수를 변환(Transformation)이라 부른다.   Rn (Domain)에서 Rm (Codomain)으로의 변환 T는 T: Rn -> Rm 로 표시한다. - 선형변환(Linear Transformation): T: Rn -> Rm 이 임의의 vector u, v 와 임의의 scalar k에 대하여 다음 2조건을 만족하면 선형변환(Linear Transformation)이라 부른다.   1) T(u + v) = T(u) + T(v).   2) T(ku) = kT(u).   - 선형변환의 성질(Properties of Linear Transformation).   1) T(0)..

9. 1. 기저, 차원, 계수(Basis, Dimension, Rank) - 기저(Basis): Vector Space 안의 n개의 벡터들의 집합 B = {b1, b2, … , bn}가 다음 2가지 조건을 만족하면 집합 B를 Vector Space의 기저(Basis)라고 부른다.   1) B = {b1, b2, … , bn} 는 선형독립이다.   2) V = Span{b1, b2, … , bn} 즉, V를 생성한다. - 하나의 Vector Space에 기저가 될 수 있는 집합은 여러 개가 있을 수 있다. 그러나 기저를 이루는 집합들의 각 원소의 개수는 모두 같다.  - Basis가 되기 위한 필요충분조건은 determinant ≠ 0. - 표준기저(Standard Basis): Standard Unit ..

8. 1. 벡터공간, 부분공간(Vector Space, Sub Space) - 벡터공간(Vector Space): 벡터를 원소로 가지는 공간에서 덧셈 연산과 스칼라 곱셈 연산의 공리가 만족되는 집합. (First Axiom : Addition Operation). [u, v, w is vector and a, b is scalar]    1) u + v = v + u.   2) (u + v) + w = u + (v + w).   3) u + 0 = 0 + u = u.   4) u + (-u) = 0. (Second Axiom : Scalar Multiplication Operation). [u, v, w is vector and a, b is scalar]   1) a(u + v) = au + av.  ..

7. 1. 행렬식의 성질(Properties of Determinant) - Triangular Matrix or Diagonal Matrix 이면 det(A)는 대각선 성분들의 곱과 같다.  - Properties of Determinant.   1) det(A) = det(AT).   2) det(AB) = det(A)det(B).   3) det(Ak) = det(A)k.   4) A가 Inverse Matrix를 가지면, det(A) ≠ 0 and det(A-1) = 1 / det(A).   5) det(kA) = kndet(A).  - 행렬식이 항상 0이 되는 경우(When the Determinant Becomes 0).   1) Matrix A안의 임의의 한 행이나 한 열이 모두 0으로 구성..

6. 1. 행렬식(Determinant)- 기본곱(Elementary Product): n-square matrix A의 원소 중에서 첫 행에서 임의의 하나의 열에서의 원소를 선택하고, 두 번째 행에서는 첫 번째 행에서 선택한 열을 제외한 다른 열의 원소를 선택하고, 세 번째 행에서는 첫 번째 행과, 두 번째 행에서 선택한 열을 제외한 다른 열의 원소를 선택하는 식으로, 마지막 행까지 원소를 선택한 뒤 선택한 원소들을 모두 곱하는 것. - n-square matrix에는 n! 개의 Elementary Product가 있다. - 열을 기준으로 어떤 큰 자연수가 작은 자연수보다 먼저 나타나 있을 때 전도되어 있다고 말한다. - 하나의 기본곱에서 나타나는 전도의 총 개수를 전도수 라고 말한다. - 부호가 붙은..