14. 리차드슨 외삽법, 수치적분(Richardson Extrapolation and Numerical Integration)

 

14. 1. 리차드슨 외삽법(Richardson Extrapolation)

 

- Richardson Extrapolation: f’(x)의 오차를 O(h²)[Central Diffenence Formula]에서 O(h⁴)로 향상 시켜서 수렴속도를 가속화 시키는 방법이다.

 

 

 

 

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14. 2. 수치적분(Numerical Integration)

 

- 수치적분법은 정적분을 대수적으로 구하기 어려울 때 사용한다.

 

 

 

- f(x)는 넓이를 구하고자 하는 함수이고, w(x)(w(x) > 0)는 가중치함수(Weighting Function)이다.

 

- 구간 [a, b]를 n+1등분하여 Integral의 근사값을 구하면 다음과 같다.

 

 

 

- 위 방법을 수치적분이라 부른다. 여기서 x_i는 마디점(node), w_i(weight)라 부른다.

 

- E[f](error) = I[f] – Q[f].

 

- 수치적분법은 마디점을 선택하는 방법에 따라 다르다.

 

 

- 마디점을 균등하게 나누는 방법을 뉴턴-코드 수치적분법(Newton-Cotes Numerical Integration)이라 부르고, [a, b]를 n으로 균등하게 나누면 h = (b – a) / n 로 정의 할 수 있다.

 

 

1) n = 1, T(f) (Trapezoid)

 

 

 

2) n = 2, S(f) (Simpson)

 

 

 

3) n = 3, S3(f)

 

 

 

4) n = 4, B(f) (Boole)

 

 

 

-> n이 커지면 커질수록 정확도는 높아진다.

 

 

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