엔지니어가 되고 싶은 공돌이

7. 1. 역삼각함수(Inverse Trigonometric Function) - 삼각함수는 일대일이 아니므로 역함수가 존재하지 않지만, 정의역을 축소시켜서 일대일로 만들어 역함수를 구할 수 있다. - sin-1 x = arcsin x. [-π/2 ≤ x ≤ π/2] - cos-1 x = arccos x. [0 ≤ x ≤ π] - tan-1 x = arctan x. [-π/2 x π/2]  - 역삼각함수의 미분(Differentiation of Inverse Trigonometric Function)   7. 2. 쌍곡선함수(Hyperbolic Function) - 두 지수함수 ex와 e-x 의 특정한 결합은 널리 활용된다.   1) sinh x (Hyperbolic sine) = (ex – e-x) ..

6. 1. 역함수(Inverse Function) - 일대일 대응(One-to-one correspondence): 서로 다른 임의의 정의역 원소에 대하여 함숫값이 모두 서로 다르면서, 공역과 치역이 같은 함수. - 함수가 One-to-one correspondence인지 확인하는 방법은 함수에 임의의 수평선을 그었을 때 한 점에서 만나면 One-to-one correspondence이다. - f-1 그래프는 f 그래프에 대하여 y = x 대칭이다.  - f : X -> Y가 일대일 대응(One-to-one correspondence)일 때, 역함수(Inverse function) f-1 : Y -> X가 존재한다. - y = f(x), x = f-1(y). ⇔ f(a) = b, f(b)-1 = a. -..

5. 1. 지수함수(Exponential Function)- y = ax (a > 0, a ≠ 1).  a > 1  0   - 지수함수 그래프의 성질(Properties of Exponential Function Graphs).  1) 정의역(Domain)은 실수 전체의 집합이고, 치역(Codomain)은 양의 실수 전체의 집합이다.  2) 그래프는 (0, 1), (1, a)를 지나고, x축이 점근선(Asymptote)이다.  3) y = ax 그래프와 y = (1/a)x 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.  - y = ax 그래프를 x축으로 p, y축으로 q만큼 평행이동 -> y = a(x-p) + q. - y = ax 그래프를 x축 대칭이면 y = -ax , y축 대칭이면 y = a-x , 원점 대칭이..

4. 1. 미분 공식(Differential Formula) 1) y = c.  →  y’ = 0. 2) y = xn  →  y’ = nn-1. 3) y = cf(x)  →  y’ = cf’(x). 4) y = f(x) ± g(x)  →  y’ = f’(x) ± g’(x). 5) y = f(x)g(x)  →  y’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x).  6) y = f(x)g(x)h(x)  →  y’ = f’(x)g(x)h(x) + f(x)g’(x)h(x) + f(x)g(x)h’(x). 7) y = { f(x) }n  →  y’ = n{ f(x) }n-1 X f’(x). 8) y = f(x) / g(x)   9) y = sin x  ->  y’ = cos x.     y = cos x  ->  y..

3. 1. 미분계수(Differential Coefficient) - 평균변화율(Average Rate of Change): 함수 f(x)에서 x의 값이 a에 b까지 변할 때, Δy / Δx 를 구간 [a, b]의 평균변화율이라 부른다.   Δy / Δx = ( f(b) – f(a) ) / (b – a) = ( f(a + Δx) – f(a) ) / Δx. - 평균변화율은 두 점 (a, f(a)), (b, f(b)) 를 지나는 직선의 기울기와 같다.  - 미분계수(Differential Coefficient): 함수 f(x)에서 x = a에서의 미분계수 f’(a) 는   f’(a) = lim (Δx → 0) ( f(a + Δx) – f(a) ) / Δx .          = lim (h → 0) ( f(..

2. 1. 함수의 극한(Limit of a Function) - (x → a) 일 때 함수의 수렴(Convergence of the function when (x → a)). [a is real number]   1) 함수 f(x)에서 x ≠ a이고, x의 값이 a에 한 없이 가까워질 때 f(x)가 일정한 값 A 에 한 없이 가까워지면    lim (x → a) f(x) = A.  - (x → a) 일 때 함수의 발산(Divergence of the function when (x → a)). [a is real number]   1) 함수 f(x)에서 x ≠ a이고, x의 값이 a에 한 없이 가까워질 때 f(x)가 양의무한대나 음의무한대로 발산하면    lim (x → a) f(x) = ∞ , lim (..

1. 1. 함수(Function) - 함수(Function, f: A -> B): Set A -> Set B로 가는 관계가 있을 때, Set A의 모든 원소 a에 대해 Set B의 원소 b하나와만 대응되는 관계. - 정의역(Domain, dom(f)): Set A. - 공역(Codomain, codom(f)): Set B. - 치역(Range, ran(f)): A의 원소와 대응하는 B의 원소들의 모음(f(x)의 모음).  - 독립변수(Independent Variable): 함수 f의 Domain에 속하는 원소. - 종속변수(Dependent Variable): 함수 f의 Range에 속하는 원소.  - xy평면의 곡선이 함수이면 y축에 평행한 직선이 곡선과 많아봐야 한점에서 만나게 된다. - 우함수(짝..

14. 1. 리차드슨 외삽법(Richardson Extrapolation) - Richardson Extrapolation: f’(x)의 오차를 O(h2)[Central Diffenence Formula]에서 O(h4)로 향상 시켜서 수렴속도를 가속화 시키는 방법이다.     14. 2. 수치적분(Numerical Integration) - 수치적분법은 정적분을 대수적으로 구하기 어려울 때 사용한다.   - f(x)는 넓이를 구하고자 하는 함수이고, w(x)(w(x) > 0)는 가중치함수(Weighting Function)이다. - 구간 [a, b]를 n+1등분하여 Integral의 근사값을 구하면 다음과 같다.   - 위 방법을 수치적분이라 부른다. 여기서 xi는 마디점(node), wi(weight)..

13. 1. 테일러 수치미분법(Talyor’s Numerical Differentiation) - 전향수치미분식(Forward Diffenence Formula): {f(x + h) – f(x)} / h -> O(h). - 후향수치미분식(Backward Diffenence Formula): {f(x) – f(x - h)} / h -> O(h). - 중앙수치미분식(Central Diffenence Formula): {f(x + h) – f(x - h)} / 2h -> O(h2).   중앙수치미분식으로 구한 근사값이 나머지 두 방법보다 더 빨리 참값에 근접한다. - h의 크기를 계속 줄여나가면서 근사값을 참값에 근접시킨다.  - f(x)를 테일러 정리로 표현하면    - 2차 도함수의 중앙수치미분식(Cent..

12. 1. 스플라인 함수(Spline Function) - Spline Function: 주어진 구간을 여러 개의 소구간으로 나누고, 각 소구간을 차수가 낮은 다항식으로 표현한 후 각 소구간을 연속적으로 연결한 함수.  - 1st Degree Spline Function.   [a, b]를 [ti , ti+1]으로 나누고 Si(x)를 Linear Polynomial으로 구한 뒤 연결한다.   - 2nd Degree Spline Function.   [a, b]를 [ti , ti+1]으로 나누고 Si(x)를 Quadratic Polynomial으로 구한 뒤 연결한다. 이 때 S(x)와 S’(x)는 연속이어야 한다.   - t는 나누어진 구간을, y는 해당 t에서의 함수값을, z는 초기값으로 주어지고 이후..