14. 내적, 직교, 직교집합(Inner Product, Orthogonal, Orthogonal Set)

 

14. 1. 내적, 직교, 직교집합(Inner Product, Orthogonal, Orthogonal Set)

 

- 직교 여공간(Orthogonal Complements, W^ㅗ): 어떤 벡터 z가 Rⁿ의 부분공간 W에 있는 모든 벡터와 직교하면 z는 W공간에 직교한다고 말하며, 이런 모든 z의 집합을 W의 직교 여공간(Orthogonal Complements)이라 부른다.

 

- 직교집합(Orthogonal Set): 벡터의 집합이 있을 떄, 그 집합의 서로 다른 두 벡터에 대한 내적이 0이면, 그 집합을 직교집합(Orthogonal Set)이라 부른다.

 

 

- 직교기저(Orthogonal Basis): 직교집합은 서로 독립이므로 부분공간을 생성할 때 기저가 된다.

 

- 정규직교집합(Orthonormal Set): 직교집합이면서 각 벡터의 크기가 1인 단위벡터인 집합.

 

- 정규직교기저(Orthonormal Basis): 정규직교집합이 부분공간을 생성할 때의 기저.

 

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14. 2. 직교정사영(Orthogonal Projection)

 

- {u₁, u₂, … , u_p}를 Rⁿ 차원의 부분공간 W의 직교기저라 할 때, W의 각 벡터 y는 다음과 같이 각 기저벡터 위로의 정사영벡터들의 선형결합에 의해 유일하게 표현된다.

 

y = ( y · u₁ / | u₁ |² ) vector u₁ + ( y · u₂ / | u₂ |² ) vector u₂ + … + ( y · u_p / | u_p |² ) vector u_p.

 

 

- 벡터위로의 정사영을 확대하여 공간 위로의 정사영으로 표현할 수 있다.

 

  y_hat 으로 표현하고, 위와 식이 동일하다.

 

 

(직교분해정리(Orthogonal Decomposition Theorem)).

 

- W를 Rⁿ의 부분공간이라 할 때, Rⁿ에 속하는 임의의 벡터 y는 다음 형태로 유일하게 표현된다.

 

  y = y_hat(W에 속한 벡터) + z(W에 직교하는 벡터).

 

 

- Rⁿ의 모든 0이 아닌 부분공간은 직교기저 또는 정규직교기저를 갖는다.

 

- 일반기저는 정사영을 적용한 후 다시 선형결합하면 초기의 벡터가 되지 않지만 직교기저는 정사영을 적용한 후 다시 선형결합해도 초기의 벡터와 동일하다.

 

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