11. 선형변환의 기하학적 의미(Geometric Meaning of Linear Transformation)

 

11. 1. 선형변환의 기하학적 의미(Geometric Meaning of Linear Transformation)

 

- Linear Transformation은 입력된 벡터를 특정한 성질을 만족하는 행렬 A와 곱하여 다른 벡터를 만들어 내는 과정을 말한다.

 

- Linear Transformation T:Rⁿ -> Rⁿ 의 길이가 보존되는 성질 | T(x) | = | x |를 만족할 때, T를 직교작용소(Orthogonal Operator)라 부른다.

 

- | T(x) | = | x | <-> T(x)T(y) = x · y. [Inner Product Conservation].

 

- Orthogonal Operator는 길이를 보존하고, 내적 연산을 보존하고, 각을 보존할 수 있다.

 

 

- 직교행렬(Orthogonal Matrix): A^-1 = A^T (AA^T = I)인 행렬.

 

- 직교행렬의 성질(Properties of Orthogonal Matrix).

 

  A, B가 Orthogonal Matrix일 때, 다음이 성립한다.

 

  1) A^T , A^-1 , AB 도 Orthogonal Matrix이다.

 

  2) det(A) = ± 1 이다.

 

- 다음 명제(Proposition)는 서로 동치(Equivalence)이다.

  A는 Orthogonal Matrix  AA^T = I <-> | Ax | = | x | <->  Ax · Ay = x · y <-> 각 열(행) 벡터는 정규직교 벡터이다.

 

- 정규직교벡터(Orthonormal Vector): 각 열(행) 벡터의 크기가 1이고, 서로의 내적이 0이다.

 

 

- Orthogonal Operator일 필요충분조건은 T의 표준행렬 A가 Orthogonal Matrix이다.

 

- R² 에서 모든 Orthogonal Operator는 회전변환, 대칭변환 2가지가 있다.

 

 

- S가 평행사변형이면 T(S)의 넓이 = |det(A)| X S의 넓이.

 

- S가 평행육면체이면 T(S)의 부피 = |det(A)| X S의 부피.

 

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11. 2. 전사 변환과 일대일 변환(Onto Mapping and One-to-one Mapping)

 

- 전사변환(Onto Mapping): T: Rⁿ -> R^m 에서, R^m의 모든 원소가 Rⁿ에 속하는 원소와 적어도 하나 이상 대응되면 Linear Transformation T는 R^m 으로의 전사변환이라 한다.

 

  해가 존재한다는 것을 의미.

 

- 일대일변환(One-to-one Mapping): T: Rⁿ -> R^m 에서, R^m의 각 원소가 Rn에 속하는 원소와 많아야 하나와만 대응되면 Linear Transformation T는 R^m 으로의 일대일변환(= 단사변환)이라 한다.

 

  해가 유일하거나 없다는 것을 의미.

 

- One-to-one Mapping의 조건은 T(x) = 0 이 Trivial Solution 만 가져야 한다.

 

- T: Rⁿ -> R^m에서 A를 T에 대한 표준행렬이라 하면, A의 열벡터가 R^m을 생성하면(열벡터에서 독립된 벡터가 m개)이면 Onto Mapping이고, A의 열벡터들이 일차독립이면 One-to-one Mapping이다.

 

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