10. 선형변환(Linear Transformation)

 

10. 1. 선형변환과 행렬(Linear Transformation and Matrix)

 

- 입력과 출력이 모두 vector인 함수를 변환(Transformation)이라 부른다.

 

  Rⁿ (Domain)에서 R^m (Codomain)으로의 변환 T는 T: Rⁿ -> R^m 로 표시한다.

 

- 선형변환(Linear Transformation): T: Rⁿ -> R^m 이 임의의 vector u, v 와 임의의 scalar k에 대하여 다음 2조건을 만족하면 선형변환(Linear Transformation)이라 부른다.

 

  1) T(u + v) = T(u) + T(v).

 

  2) T(ku) = kT(u).

 

 

 

- 선형변환의 성질(Properties of Linear Transformation).

 

  1) T(0) = 0.

 

  2) T(k₁v₁ + k₂v₂ + … + k_nv_n) = k₁T(v₁) + k₂T(v₂) + … + k_nT(v_n).

 

 

- 영변환(Zero Transformation): T를 T(v) = 0으로 정의.

 

- 항등변환(Identity Transformation):T를 T(v) = v로 정의.

 

- 행렬변환(Matrix Transformation): T(x) = Ax.

 

  1) 모든 Linear Transformation은 Matrix Transformation으로 나타낼 수 있다.

 

  2) 모든 Matrix Transformation은 Linear Transformation이다.

 

  3) T(x) = Ax를 만족하는 Matrix A는 유일하게 존재한다.

 

 

- 표준행렬(Standard Matrix): A = [T(e₁), T(e₂), … T(e_n)].

 

 

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