10. 부정적분, 정적분의 계산(Calculation of indefinite Integrals and Definite Integrals)

 

 

10. 1. 정적분의 계산(Calculation of Definite Integrals)

 

- 정적분의 공식(Definite Integral Formula).

 

  1) ∫_a^b kf(x) dx = k∫_a^b f(x) dx. [k is real number]

 

  2) ∫_a^b ( f(x) ± g(x) )dx = ∫_a^b f(x) dx ± ∫_a^b g(x) dx.

 

  3) ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx.

 

  4) ∫_a^b A(x - a)(x - b) dx = -A/6 X (b - a)³.

 

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10. 2. 치환적분법(Intergration by Substitution)

 

- 기존 피적분함수로 적분하기 어려울 경우 다른 변수로 바꾸어 적분하는 방법.

 

- u = g(x) 를 이용해 치환적분한다면, ∫ f(g(x))g’(x) dx = ∫f(u)du.

 

  1) ∫ (ax + b)ⁿ dx = 1/a X 1/(n+1) X (ax + b)ⁿ⁺¹ + C.

 

  2) ∫ sin(ax + b) dx = 1/a X – cos(ax + b) + C.

 

  3) ∫ 1/(ax + b) dx = 1/a X ln |ax + b| + C.

 

  4) ∫ e^ax+b dx = 1/a X e^ax+b + C.

 

  5) ∫ p^ax+b dx = 1/a X 1 / ln p X p^ax+b + C.

 

 

- 유리함수를 치환할 때는 피적분 함수 속에 있는 ( f(x) )ⁿ 꼴에서 f(x) = t로 치환한다.

 

- 무리함수를 치환할 떄는 피적분 함수 속에 있는 √f(x) 꼴에서 root를 포함해 √f(x) = t로 치환한다.

 

 

- Definite Integral을 u = g(x)를 이용해 치환적분한다면, ∫_a^b f(g(x))g’(x) dx = ∫_g(a)^g(b)f(u)du.

 

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10. 3. 부분적분법(Integration by Parts)

 

- ∫ f(x)g’(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f’(x)g(x) dx.

 

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10. 4. 다양한 적분법(Various Integrations)

 

1) 삼각적분(Trigonometric Integral): sinxcosx(sin²x + cos²x = 1 or sin²x = (1 – cos2x)/2 or cos²x = (1 + cos2x / 2)), tanxsecx(sec²x = 1 + tan²x) 꼴을 푸는 방법.

 

 

2) 삼각치환(Trigonometric Substitution): √(a² – x²), √(a² + x²), √(x² – a²) 꼴을 x = asinθ, x = atanθ, x = asecθ로 치환하여 푸는 방법.

 

 

3) 부분분수(Partial Fraction)

 

  - 분자의 차수 >= 분모의 차수.

 

    a) 인수분해가 되면 인수분해 한 후 약분한다.

 

    b) 인수분해가 되지 않으면 직접 나눗셈을 해서 몫과 나머지로 분리한다.

 

  - 분자의 차수 < 분모의 차수.

 

  분모를 인수분해하여 부분분수로 분해한다.

 

   a) 분모가 서로 다른 일차 인수들의 곱인 경우.

 

     (x² + 5x – 3) / x(3x - 2)(2x + 5) = A / x + B / (3x - 2) + C / (2x + 5).

 

     (x² + 5x – 3) = A(3x - 2)(2x + 5) + Bx(2x + 5) + Cx(3x - 2).

 

 

  b) 분모가 중복된 것이 있는 일차 인수들의 곱인 경우.

 

     (x² + 5x – 3) / (x + 7)²(x + 2) = A / (x + 7) + B / (x + 7)² + C / (x + 2).

 

 

  c) 분모에 서로 다른 기약인 이차 인수가 포함된 경우.

 

    (x² + 5x – 3) / x(2x² + 5) = A / x + (Bx + C) / (2x² + 5).

 

 

  d) 분모에 중복된 기약인 이차 이수가 포함된 경우.

 

    (x² + 5x – 3) / x(2x² + 5)² = A / x + (Bx + C) / (2x² + 5) + (Dx + E) / (2x² + 5)².

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