11. 적분의 활용(Use of Integral)

 

11. 1. 곡선 사이의 넓이(Area between Curves)

 

- 두 함수 f와 g는 연속이고, [a, b]에 속한 모든 x에 대해 f(x) ≥ g(x)일 때,

 

  y = f(x)와 y = g(x) 및 두 직선 x = a, x = b로 둘러싸인 영역의 넓이 A는 다음과 같다.

 

  A = ∫_a^b { f(x) – g(x) }dx.

 

- 두 함수 f와 g는 연속이고, [c, d]에 속한 모든 y에 대해 f(y) ≥ g(y)일 때,

 

  x = f(y)와 x = g(y) 및 두 직선 y = c, y = d로 둘러싸인 영역의 넓이 A는 다음과 같다.

 

  A = ∫_c^d { f(y) – g(y) }dy.

 

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11. 2. 부피(Volume)

 

- x = a, x = b 사이에 놓여있는 입체 S가 있고,

 

  S의 단면의 넓이가 A(x)이고, A(x)가 적분 가능한 함수 일 때,

 

  V = ∫_a^b A(x) dx.

 

 

- x = a, x = b까지 y = f(x) 아래의 영역을 y축을 중심으로 회전시켜 얻은 부피의 넓이를 V라 할 때,

 

  V = ∫_a^b 2πxf(x) dx.

 

- 여기서 f(x)는 높이를 의미한다.

 

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11. 3. 호의 길이(Arc Length)

 

- f’(x)가 [a, b]에서 연속일 때 곡선 y = f(x)의 길이는,

 

  L = ∫_a^b√( 1 + { f’(x) }² ) dx.

 

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11. 4. 회전면 넓이(Area of a Surface of Revolution)

 

- y = f(x)를 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전면의 넓이 S는,

 

  S = ∫_a^b 2πf(x)√( 1 + { f’(x) }² ) dx.

 

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