12. 수열, 급수(Sequence, Series)

 

12. 1. 수열(Sequence)

 

- 수열 a₁, a₂, … , a_n , … 에서 n이 한 없이 커짐에 따라 a_n이 일정한 값 A에 한 없이 가까워지면 수열 {a_n}은 A에 수렴한다(Convergence)고 하며, A를 {a_n}의 극한 값(Limit Value)이라고 한다.

 

  lim (n → ∞) a_n = A.

 

- 수열 {a_n}이 수렴하지 않을 때, 수열 {a_n}은 발산한다(Divergence)고 한다. 이 때 극한 값은 없다.

 

 

- 수열 극한 값의 계산(Calculation of Sequence Limits)

 

  lim (n → ∞) a_n = A , lim (n → ∞) b_n = B ,  

 

  1) lim (n → ∞) ca_n = c X lim (n → ∞) a_n = cA.

 

  2) lim (n → ∞) (a_n ± b_n) = lim (n → ∞) a_n ± lim (n → ∞) b_n = A ± B.

 

  3) lim (n → ∞) (a_n X b_n) = lim (n → ∞) a_n X lim (n → ∞) b_n = A X B.

 

  4) lim (n → ∞) (a_n / b_n) = lim (n → ∞) a_n / lim (n → ∞) b_n = A / B.

 

 

- 등비수열의 극한(Limit of Geometric Sequences)

 

- 첫째항이 r이고, 공비가 r인 등비수열 {rⁿ}은 r의 값에 따라 수렴과 발산이 결정된다.

 

  1) r > 1 이면, lim (n → ∞) rⁿ = ∞.

 

  2) r = 1 이면, lim (n → ∞) rⁿ = 1.

 

  3) | r | < 1 이면, lim (n → ∞) rⁿ = 0.

 

  4) r ≤ -1 이면, lim (n → ∞) rⁿ 은 진동.

 

 

- 등비수열의 수렴조건(Convergence conditions of geometric Sequences).

 

  1) 등비 {rⁿ}의 수렴 조건 -> -1 < r ≤ 1.

 

  2) 등비 {arⁿ}의 수렴 조건 -> a = 0 or -1 < r ≤ 1.

 

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12. 2. 급수(Series)

 

- 급수(Series): 수열의 각 항을 덧셈기호로 연결한 a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + … 을 급수라 부른다.

 

  a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + … = Σ (n = 1 → ∞) a_n .

 

- 부분합(Partial Sum): 급수에서 첫째항부터 n항 까지의 합을 S_n 이라고 칭하고 부분합이라 읽는다.

 

  S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n = Σ (k = 1 → n) a_k .

 

- 부분합으로 이루어진 수열 S₁, S₂, S₃, … , S_n, … 이 일정한 값 S에 수렴하면,

 

  lim (n → ∞) S_n = lim (n → ∞) Σ (k = 1 → n) a_k = Σ (n = 1 → ∞) a_n 은 S에 수렴한다(Convergence)고 한다.

 

 

- 등비급수(Geometric Series)

 

- 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열 {ar^n-1}의 각 항을 +로 연결한 급수를 등비급수(Geometric Series)라 부른다.

 

  Σ (n = 1 → ∞) ar^n-1 = a + ar + ar² + … + ar^n-1 + …

 

 

- 등비급수의 수렴과 발산(Convergence and Divergence of Geometric Series).

 

  1) | r | < 1 일 때는 수렴하고, 등비급수의 합은 a / (1 - r) 이다.

 

  2) | r | ≥ 1 일 때는 발산한다.

 

 

- 급수 Σ (n = 1 → ∞) a_n 이 수렴(Convergence)하면 lim (n → ∞) a_n = 0이다.

 

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