엔지니어가 되고 싶은 공돌이
08. 미분의 활용(Use of Differentiation) 본문
8. 1. 함수의 최대값과 최솟값(Global Maximum and Minimum Values of a Function)
- 함수의 극대와 극소(Local Maximum and Minimum Values of a Function).
1) x = a의 좌우에서 f(x)가 증가상태에서 감소상태로 바뀔 때, f(x)는 x = a에서 극대(Local Maximum)라 하고, f(a)를 극댓값이라 부른다.
2) x = b의 좌우에서 f(x)가 감소상태에서 증가상태로 바뀔 때, f(x)는 x = b에서 극소(Local Minimum)라 하고, f(b)를 극솟값이라 부른다.
- y = f(x)에서 x = a에서 미분가능하고 x = a에서 극값을 가지면 f’(a) = 0 이다.
- 극대 극소를 찾는 방법은 f(x)의 도함수인 f’(x)를 구하고 f’(a) = 0을 만족하는 a를 찾는다.
이후 a의 좌우에서 f’(x)의 값이 양수인지 음수인지 확인하여, 양 -> 음 이면 극대, 음 -> 양 이면 극소로 판단한다.
- 함수 f(x)가 주어진 구간에서 취할 수 있는 가장 큰 값을 최댓값(Global Maximum Value), 가장 작은 값을 최솟값(Global Minimum Value)이라 부른다.
- 최댓값, 최솟값 구하기(Find the Global Maximum and Minimum Values).
1) 주어진 구간에서 극댓값, 극솟값을 모두 구한다.
2) 양 끝점의 함수 값을 구한다. [닫힌 구간]
3) 양 끝점의 함수 값, 극댓값, 극솟값을 모두 비교하여 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
8. 2. 평균값 정리(Mean Value Theorem)
- 롤의 정리(Rolle’s Theorem).
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간(a, b)에서 미분가능할 때,
f(a) = f(b)이면 f’(c) = 0(a < c < b)인 c가 적어도 하나 존재한다.
- 평균값 정리(Mean Value Theorem).
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간(a, b)에서 미분가능할 때,
( f(b) – f(a) ) / (b - a) = f’(c) (a < c < b)인 c가 적어도 하나 존재한다.
8. 3. 곡선의 오목, 볼록과 변곡점(Concave, Convex, and Inflection Points of Curves)
- y = x2 같은 그래프를 아래로 볼록(위로 오목) 하다고 한다.
- y = -x2 같은 그래프를 위로 볼록(아래로 오목) 하다고 한다.
- 곡선 y = f(x)가 어떤 구간에서
1) f’’(x) > 0 이면 f(x)는 이 구간에서 아래로 볼록하다.
접선의 기울기가 증가.
2) f’’(x) < 0 이면 f(x)는 이 구간에서 위로 볼록하다.
접선의 기울기가 감소.
- 한 점의 좌우에서 곡선이 아래로 볼록에서 위로 볼록으로, 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀔 때 이 점을 변곡점(Inflection Point)이라 부른다.
- f’’(a) = 0 이고, x = a의 좌우에서 f’’(x)의 부호가 바뀌면 x = a에서 변곡점이다.
- 이계도함수를 갖는 함수 f(x)에서 f’(a) = 0 일 때,
1) f’’(a) > 0 이면 f(x)는 x = a에서 극소이다.
2) f’’(a) < 0 이면 f(x)는 x = a에서 극대이다.
8. 4. 함수의 그래프(Grape of Functions)
- f’(x)와 f’’(x)를 이용하면 복잡한 함수의 그래프를 그릴 수 있다.
1) 함수의 정의역과 치역 찾기.
2) 그래프의 대칭성 확인하기(odd function, even function).
3) 좌표축과의 교점 찾기(x 절편, y절편).
4) 함수의 증가, 감소 와 극대, 극소 찾기 (f’(x)).
5) 곡선의 오목, 볼록, 변곡점 찾기 (f’’(x)).
6) lim (x → ∞) f(x) , lim (x → -∞) f(x) 을 구하여 점근선 유무 확인하기.
