06. 역함수의 도함수(Derivative of Inverse Function)

 

6. 1. 역함수(Inverse Function)

 

- 일대일 대응(One-to-one correspondence): 서로 다른 임의의 정의역 원소에 대하여 함숫값이 모두 서로 다르면서, 공역과 치역이 같은 함수.

 

- 함수가 One-to-one correspondence인지 확인하는 방법은 함수에 임의의 수평선을 그었을 때 한 점에서 만나면 One-to-one correspondence이다.

 

- f^-1 그래프는 f 그래프에 대하여 y = x 대칭이다.

 

 

- f : X -> Y가 일대일 대응(One-to-one correspondence)일 때, 역함수(Inverse function) f^-1 : Y -> X가 존재한다.

 

- y = f(x), x = f^-1(y). ⇔ f(a) = b, f(b)^-1 = a.

 

- 함수 f^-1의 정의역은 f의 치역이고, f^-1의 치역은 f의 정의역이다.

 

 

- 역함수를 구하기(Finding inverse functions).

 

  1) One-to-one correspondence 확인.

 

  2) x에 대하여 정의하기.

 

  3) x와 y를 바꾸기.

 

- 역함수 미분(Differentiation of Inverse Function): (f^-1)’(a) = 1 / f’(f^-1(a)).

 

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6. 2. 지수함수와 로그함수의 미분(Differentiation of Exponential Function and Logarithmic Function)

 

- y = e^x  ->  y’ = e^x .

 

- y = a^x  ->  y’ = a^xlna.

 

- y = ln x  ->  y’ = 1/x.

 

- y = log_a x  ->  y’ = 1/xlna.

 

 

- (ln | x | )‘ = 1 / x. [x ≠ 0]

 

- 복잡한 함수의 도함수를 구할 때는 양변에 자연로그를 취한 뒤 음함수의 미분법으로 x에 관해 미분하고, y’에 대하여 정리하면 쉽게 도함수를 구할 수 있다.

 

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