12. 표본평균(Sample Mean)

 

12. 1. 표본평균(Sample Mean)

 

- 모집단(Population): 어떤 정보를 얻기 위한 전체 집단.

 

- 표본(Sample): 모집단의 특성을 알기 위해 모집단에서 추출된 일부 집단.

 

  현실에서 모집단 전체를 조사하는 건 거의 불가능 하므로 표본으로 모집단의 특징을 예측한다.

 

- Population Mean : μ, Population Variance: σ², Sample Mean : X_Bar.

 

	Mean	Variance
Population	μ	σ2
Sampling Without Replacement X_Bar	μ	(σ2 / n) X (N-n)/(N-1)
Sampling With Replacement X_Bar	μ	σ2 / n

 

 

- Population의 크기 N이 충분히 크다면 (σ² / n) X (N-n)/(N-1) ≒ σ² / n 이므로 특별한 언급이 없다면 X_Bar의 Variance 는 σ² / n 으로 계산한다.

 

 

- 표본평균의 합과 차(Addition and Subtraction of Sample Mean).

 

1) Two independent random variables X ~ N(μ₁, σ₁²) , Y ~ N(μ₂, σ₂²) 으로부터 각각 크기가 n과 m인 표본을 추출할 때, 이 때의 표본평균을 각각 X_Bar, Y_Bar라 하면,

 

  X_Bar ~ N(μ₁, σ₁²/n), Y_Bar ~ N(μ₂, σ₂²/m).

 

  X_Bar + Y_Bar ~ N(μ₁ + μ₂ , σ₁²/n + σ₂²/m).

 

  X_Bar - Y_Bar ~ N(μ₁ - μ₂ , σ₁²/n + σ₂²/m).

 

 

2) 모집단이 임의의 분포를 이룰 때에도 근사적으로 가능하다.

 

  X_Bar ≒ N(μ₁, σ₁²/n), Y_Bar ≒ N(μ₂, σ₂²/m).

 

  X_Bar + Y_Bar ≒ N(μ₁ + μ₂ , σ₁²/n + σ₂²/m).

 

  X_Bar - Y_Bar ≒ N(μ₁ - μ₂ , σ₁²/n + σ₂²/m).

 

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