11. 정규분포(Normal Distribution)

 

11. 1. 정규분포(Normal Distribution)

 

- X ~ N(μ, σ²).

 

 

 

- 정규분포의 성질(Properties of Normal Distribution)

 

  1) f(x)는 x = μ에 대하여 좌우대칭이고, 최댓값을 가진다. 따라서 M_e = M_o = μ 이다.

 

  2) x = μ ± σ 에서 f(x)는 변곡점(Inflection Point)을 가진다.

 

  3) μ는 f(x)의 중심을, σ는 흩어진 정도를 나타내며, 값이 작을수록 밀집되어 있다.

 

 

 

 

- 표준정규분포(Standard Normal Distribution, Φ(z)): Z ~ N(0, 1).

 

  1) Φ(z)는 z = 0에 대하여 좌우대칭이고, 최댓값을 가진다. 따라서 M_e = M_o = 0 이다.

 

  2) P(Z > 0) = P(Z < 0) = 0.5.

 

  3) P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 – P(Z < a).

 

  4) P(Z < a) = 0.5 + P(0 < Z < a).

 

 

- Normal Distribution -> Standard Normal Distribution.

X ~ N(μ, σ²). -> Z = (X – μ) / σ ~ N(0, 1).

 

- Two independent random variables X ~ N(μ₁, σ₁²) , Y ~ N(μ₂, σ₂²).

 

  1) aX + b ~ N(aμ₁ + b, a²σ₁²).

 

  2) X + Y ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²).

 

  3) X – Y ~ N(μ₁ - μ₂, σ₁² + σ₂²).

 

 

- 중심극한정리(Central Limit Theorem).

 

  1) 임의의 분포를 이루는, 평균 μ, 분산 σ² 인 i.i.d 확률변수들 X_i I = 1, 2, … , n에 대하여, n이 충분히 크다면 X_bar 는 평균 μ, 분산 σ²/n 인 정규분포에 가까워진다.

 

  X_bar = ( X₁ + X₂ + … + X_n ) / n ≒ N(μ, σ²/n).

 

  2) 정규분포인, 평균 μ, 분산 σ² 인 독립확률변수들 X_i I = 1, 2, … , n에 대하여, X_bar 는 평균 μ, 분산 σ²/n 인 정규분포를 이룬다.

 

  X_bar = ( X₁ + X₂ + … + X_n ) / n ~ N(μ, σ²/n).

 

 

- 정규 근사화(Normal Approximation).

 

  np ≥ 5, n(1-p) ≥ 5 이면, X ~ B(n, p)와 X ~ N(np, np(1 - p))는 거의 일치한다.

 

  np ≥ 5, n(1-p) ≥ 5 일 때, X ~ B(n, p)에서 P(X = 2)를 구하라 하면, X ~ N(np, np(1 - p)) 로 변형하고, P(1.5 ≤ X ≤ 2.5) 로 구하면 거의 일치한다.

 

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