10. 연속확률변수(Continuous Random Variable)

 

10. 1. 균등분포(Uniform Distribution)

 

- 두 점 a, b (a < b)사이에서 p.d.f 가 일정하게 나타나는 확률변수.

 

- X ~ U(a, b).

 

 

 

- Mean: (a + b)/2, Variance: (b - a)² / 12.

 

- 누적분포함수(Culmulative Distribution Function)

 

 

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10. 2. 지수분포(Exponential Distribution)

 

- 관심의 대상이 되는 사건이 처음 발생할 때까지 걸리는 시간에 관한 확률분포.

 

- 관심의 대상이 되는 사건이 처음 발생할 때까지의 횟수는 Geometric Distribution이다.

 

- 관심의 대상이 되는 사건이 단위 시간동안 일어나는 사건들의 숫자에 관련된 확률분포는 Poisson Distribution 이

고, Exponential Distribution은 사건들이 일어나는 사이에 걸리는 시간과 관련된 것이다.

 

- X ~ Exp(λ).

 

 

 

 

- Mean: 1 / λ, Variance: 1 / λ².

 

 

- 누적분포함수(Culmulative Distribution Function)

 

 

 

- 생존함수(Survival Function)

 

 

 

- 비기억성성질(Memorylessness Property)

 

  P(X > a + b | X > a) = P(X > b).

 

  과거의 사건이 미래에 영향을 끼치지 못한다는 의미를 가진다.

 

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10. 3. 감마분포(Gamma Distribution)

 

- 관심의 대상이 되는 사건이 n번 발생할 떄까지 걸리는 전체 시간에 관한 확률분포.

 

- X ~ Γ(α, β).

 

- α는 n번의 횟수를, β는 1/λ(Exponential Distribution) = 1/m(Poisson Distribution)을 의미한다.

 

 

- α(형상모수, Shape Parameter): Gamma Distribution의 모양을 결정하며, α가 커짐에 따라 곡선의 꼭짓점이 원점에서 멀어진다.

 

- β(척도모수, Scale Parameter): 흩어진 정도를 나타내며, β가 작을수록 밀집정도가 좁아진다.

 

 

 

 

- 감마함수의 성질(Properties of Gamma Function)

 

  1) Γ(1) = 1.

 

  2) Γ(α + 1) = αΓ(α).

 

  3) Γ(n + 1) = nΓ(n) = n!.

 

  4) Γ(1/2) = √π.

 

 

- mean: αβ, variance: αβ².

 

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