04. 기댓값(Expected value)

 

4. 1. 기댓값(Expected value)

 

- 기대값(Expected value): 확률분포의 중심을 나타내는 척도, 확률변수 X가 취하는 각각의 값을 그 경우의 확률과 곱하여 모두 더한 값.

 

- 이산확률변수의 기대값(Expected value of Discrete Random Variable)

 

- 연속확률변수의 기대값(Expected value of Continuous Random Variable)

 

- E(x²)을 구할 때는 x -> x²로 바꿔서 f(x)에 곱해준다.

 

- 모든 확률변수의 Expected value가 존재하는 것은 아니다.

 

 

 

- 중앙값(Median, M_e): 확률변수 X의 Distribution Function F(x)에 대하여 F(x₀) = 0.5를 만족하는 x₀.

 

  중앙값은 하나만 있거나, 무수히 많거나, 하나도 없을 수 있다.

 

- 최빈값(Mode, M_o): p.m.f, p.d.f가 최대일 때 x = x_o.

 

  최빈값은 하나만 있거나, 여러 개 있거나, 하나도 없을 수 있다.

 

 

- 100p-백분위수(percentiles): Distribution Function F(x)에 대하여 다음을 만족하는 x_p.

 

  F(x_p) = p, 0 < p < 1.

 

- 사분위수(Quartiles): Distribution Function F(x)를 4등분하는 점 Q₁ = x_0.25, Q₂ = M_e = x_0.5, Q₃ = x_0.75.

 

- 왼쪽으로 치우치고 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진 X: M_o < M_e < E(X).

 

- 오른쪽으로 치우치고 왼쪽으로 긴 꼬리를 가진 X: E(X) < M_e < M_o.

 

- 대칭 분포: M_o = M_e = E(X).

 

 

- 분산(Variance, σ²): 확률변수 X의 분포가 평균을 중심으로 얼마나 밀집된 정도를 나타내는 척도.

 

  Var(X) = E(X²) – E(X)².

 

- 표준편차(Standard Deviation, σ): Variance의 양의 제곱근.

 

 

- 기대값, 분산, 표준편차의 성질(Properties of Expected value, Variance, Standard Deviation).

 

  1) E(a) = a, Var(a) = 0, σ(a) = 0.

 

  2) E(aX + b) = aE(X) + b , Var(aX + b) = a²Var(X), σ(aX + b) = |a| σ(X).

 

 

- 체비쇼프 부등식(Chebyshev Inequality).

 

  Random Variable X의 Expected value, Variance를 알 때, P(m - kσ ≤ X ≤ m + kσ)에 대한 최소확률을 구할 수 있다.

 

  P(m - kσ ≤ X ≤ m + kσ) ≥ 1 – 1/k² [k > 1].

 

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