02. 조건부확률(Conditional Probability)

 

2. 1. 조건부확률(Conditional Probability)

 

- 조건부 확률(Conditional Probability, P(B | A)):사건 A가 일어났다는 전제 하에 사건 B가 일어날 확률.

 

- P(B | A) = n(A ∩ B) / n(A) = P(A ∩ B) / P(A).

 

 

- 조건부확률의 성질(Properties of Conditional Probability).

 

  1) P(A U B | C) = P(A | C) + P(B | C) – P(A ∩ B | C).

 

  2) P(A^C | B) = 1 – P(A | B).

 

 

- 곱의 법칙(Multilplication Law): P(A₁ ∩ … ∩ A_n) = P(A₁)P(A₂|A­­₁)P(A₃|A₁∩A₂)…P(A_n|A₁∩ … ∩A_n-1).

 

- P(A ∩ B) = P(A)P(B | A).

 

 

- 독립(Independent): P(B) = P(B | A) or P(A) = P(A | B).

 

  사건 A의 발생유무가 사건 B의 conditional probability에 아무런 영향을 미치지 못함.

 

- 종속(Dependent): P(B) ≠ P(B | A) or P(A) ≠ P(A | B).

 

  사건 A의 발생유무가 사건 B의 conditional probability에 영향을 미침.

 

- Independent는 개별 사건이 아닌 반드시 conditional probability에서 판단해야 하며, Independent이면

 

  P(A ∩ B) = P(A)P(B), P(A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ A_n) = P(A₁) P(A₂)… P(A_n).

 

 

- 쌍마다 독립(Pairwisely Independent): 여러 개의 사건들이 모두 독립 일 때.

 

 

- Mutually Exclusive Events와 Independent Event은 서로 관련이 없는 별개의 개념이다.

 

- Mutually Exclusive Events이면 Dependent Event이긴 하다.

 

 

- 사건 A의 확률은 사건 B가 발생했을 때 A의 조건부 확률과 사건 B가 발생하지 않았을 때 A의 조건부 확률의 합이다.

 

- P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B^C) = P(B)P(A|B) + P(B^C)P(A|B^C).

 

- 전확률 공식(Formula of Total Probability): 표본공간 S가 사건 A₁, A₂, … , A_n의 분할로 주어진 경우, B의 조건부 확률로 B의 전체 확률을 구할 수 있다.

 

- P(B) = Σ (i = 1 → n) P(A_i)P(B | A_i).

 

 

- 베이즈 정리(Bayes’ Theorem): 사전에 분할된 확률 P(A_i)와 조건부 확률 P(B|A_i)를 이용하여 P(A_i|B)를 구하는 방법.

 

 

 

- P(A_i): 사전확률(Prior Probability), P(A_i|B): 사후확률(Posterior Probability).

 

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