13. 대각화(Diagonalization)

 

13. 1. 대각화(Diagonalization)

 

- n-square Matrix A와 닮은 행렬 D = P^-1AP가 있을 때, A를 대각행렬이 되게 하는 가역행렬 P가 존재할 때, A는 대각화 가능이라 하고, P는 A를 대각화한다고 한다.

 

 

- 대각화 과정(Diagonalization Process).

 

  1) n-square Matrix A의 Eigenvalue와 각 Eigenvalue에 해당하는 Eigenvector를 구한다.

 

  2) Eigenvector n개가 선형독립이면 대각화를 진행하고, 그렇지 않으면 중단한다.

 

  3) n개의 Eigenvector로 P 를 만든다.

 

  4) D의 대각원소는 P 의 Eigenvector에 해당하는 Eigenvalue 이다.

 

 

 

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13. 2. 고유합, 행렬의 거듭제곱(Trace, Matrix Power)

 

- 고유합(Trace, tr(A)): n-square Matrix A의 모든 대각성분의 합.

 

- tr(A + B) = tr(A) + tr(B) , tr(AB) = tr(BA).

 

- det(A) = λ₁λ₂ … λ_n , tr(A) = λ₁ + λ₂ + … + λ_n.

 

 

- 행렬의 거듭제곱(Matrix Power): Aⁿ = PDⁿP^-1.

 

 

- A가 n-square Matrix 일 때,

 

  1) A-1의 Eigenvalue는 1 / λ₁ , 1 / λ₂ , … , 1 / λ_n 이고, Eigenvectors는 A와 같다.

 

  2) A – kI의 Eigenvalue는 λ₁ – k , λ₂ – k , … , λ_n – k 이고, Eigenvectors는 A와 같다.

 

  3) kA의 Eigenvalue는 kλ₁ , kλ₂ , … , kλ_n 이고, Eigenvectors는 A와 같다.

 

  4) Ak의 Eigenvalue는 λ₁^k , λ₂^k , … , λ_n^k 이고, Eigenvectors는 A와 같다.

 

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