12. 고유값과 고유벡터(Eigenvalue and Eigenvector)

 

12. 1. 고유값과 고유벡터(Eigenvalue and Eigenvector)

 

- Ax = λx 를 만족하는 0이 아닌 벡터가 존재하면, Scalar λ를 A의 고유값(Eigenvalue)라 부르고, x를 λ에 대응하는 A의 고유벡터(Eigenvector)라 부른다.

 

- Eigenvector x는 선형변환을 해도 그 결과가 같은 벡터로, Eigenvalue에 따라 늘어나거나, 축소하거나, 방향만 변하고, 나머지 성질은 변하지 않는 벡터이다.

 

- 고유공간(EigenSpace): 영 벡터와 고유값 λ에 대응하는 모든 고유벡터의 집합.

 

 

1) 고유값 계산(Eigenvalue Calculation).

 

- 고유방정식(= 특성방정식, Characteristic Equation): det(A - λI) = 0.

 

- 고유방정식의 해가 Eigenvalue이다.

 

2) 고유벡터 계산(Eigenvector Calculation).

 

- (A - λ_iI)x = 0에 대응하는 벡터 x.

 

 

 

- 삼각행렬의 고유값은 주 대각선의 각 원소이다.

 

- Eigenvalue 에 0이 있으면 행렬 A는 가역행렬이 아니다.

 

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12. 2. 특성방정식(Characteristic Equation)

 

- 대수적 중복도(Algebraic Multiplicity): Eigenvalue가 얼마나 많이 중복되었는지를 나타내는 값.

 

- 기하학적 중복도(Geometric Multiplicity): 각 Eigenvalue에 해당하는 Eigenvector가 이루고있는 고유공간의차원.

 

기하학적 중복도는 각 Eigenvalue마다 하나씩 존재하며, 대수적 중복도 보다 작거나 같다.

 

Geometric Multiplicity = 열의 개수 – rank(A - λI).

 

 

- n-square Matrix A, B에 대하여, P^-1AP = B or PBP^-1 = A 일 때, A와 B는 서로 닮은 행렬(Similar Matrix)이라 말한다. 그리고 A에서 B로 바꾸는 것을 닮은 변환(Similarity Transformation)이라 부른다.

 

- A와 B가 닮은 행렬(Similar Matrix)이면 A와 B는 같은 Characteristic Equation, Algebraic Multiplicity, Geometric Multiplicity, Eigenvalue를 갖는다. 하지만 Eigenvector는 같지 않을 수 있다.

 

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