04. 행렬(Matrix)

 

4. 1. 행렬의 연산(Operations of Matrix)

 

- 행렬(Matrix): n, m이 양의 정수일 때, n행과 m열로 나열된 실수의 2차원 배열.

- n차 정사각행렬(n-square Matrix): n X m 행렬 A가 있을 때 n = m인 행렬.

 

- 대각행렬(Diagonal Matrix): n-square Matrix에서 대각원소 a₁₁, a₂₂, … , a_nn 이외의 모든 원소가 0인 행렬.

 

- 스칼라행렬(Scalar Matrix): Diagonal Matrix에서 대각원소 a₁₁, a₂₂, … , a_nn이 모두 같은 행렬.

 

- 크기가 m X 1인 행렬을 열 벡터(Column Vector)이라 부르고, 1 X n인 행렬을 행 벡터(Row Vector)이라 부른다.

 

 

- 행렬의 덧셈, 뺄셈(Addition and Subtraction of Matrix): 행렬의 덧셈과 뺄셈은 같은 자리에 있는 원소끼리 더하거나 빼면 된다. 이 때, 두 행렬의 크기는 같아야 한다. 행렬의 덧셈과 뺄셈도 +, - 기호를 사용한다.

 

- 행렬의 스칼라곱(Scalar Multiplication, kA): 행렬 A에 실수 k를 곱할 때는 행렬의 각 원소마다 그 실수값을 곱하면 된다.

 

- 행렬의 곱셈(Multiplication of Matrix): n X m Matrix A와 p X q Matrix B가 있고, m = p 일 때, n X q 행렬 AB를 구하는 과정을 행렬의 곱셈이라 부른다.

 

 

- Matrix A, B, C에 대하여 다음 성질이 성립된다.

 

  1) (AB)C = A(BC) [결합법칙].

 

  2) A(B + C) = AB + AC [분배법칙].

 

  3) AB ≠ BA. [교환법칙은 성립하지 않는다].

 

  4) A ≠ O 이고, AB = AC일지라도 B ≠ C 일 수 도 있다.

 

  5) A² = O 일지라도, A ≠ O 일 수도 있다.

 

  6) (AB)² ≠ A²B² , (A + B)² ≠ A² + 2AB + B².

 

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4. 2. 역행렬(Inverse Matrix)

 

- 어떤 행렬 A에 대하여 AB = BA = I 를 만족하는 B가 있을 때 B를 A의 역행렬(Inverse Matrix)라 부른다.

 

- 역행렬이 존재하는 행렬은 오직 하나의 역행렬만 가진다.

 

- 같은 크기의 n-square Matrix A, B가 Inverse Matrix를 가지면 다음의 성질이 성립한다.

 

  1) A^-1 도 역행렬을 가지고, (A^-1)^-1 = A이다.

 

  2) AB 도 역행렬을 가지고, (AB)^-1 = B^-1A^-1이다.

 

  3) kA 도 역행렬을 가지고, (kA)^-1 = A^-1 / k 이다. [k is real number]

 

  4) A^T 도 역행렬을 가지고, (A^T)^-1 = (A^-1)^T 이다.

 

  5) n이 음이 아닌 정수이면 Aⁿ 도 역행렬을 가지고, (Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ 이다.

 

  6) A = A^-1 이면 A² = I 이다.

 

 

- 역행렬의 추가 성질(Propertise of Inverse Matrix).

 

  1) A가 역행렬을 가지고 AB = O이면, 반드시 B = O 이다.

 

  2) A가 역행렬을 가지고 AB = AC이면, 반드시 B = C 이다.

 

  3) AB = C이고, C가 역행렬을 안가지면, A or B도 역행렬을 가지지 않는다.

 

  4) A의 한 행 또는 한 열의 모든 성분이 0이면, A는 역행렬을 가지지 않는다.

 

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