01. 선형방정식(Linear Equation)

 

1. 1. 선형방정식(Linear Equation)

 

- Linear Equation은 변수의 최고차항이 1이고, 상수 a₁, a₂, … , a_n, b가 상수이고 0이 아닐 때,

 

  a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b.

 

  를 말한다.

 

- 동일한 변수를 가지고 있는 유한개의 Linear Equation의 묶음을 연립일차방정식(System of Linear Equation) or 선형계(Linear System)이라 부른다.

 

- Linear Equation의 변수에 값을 대입하였을 때 식을 만족시키는 값을 해집합(Solution Set)이라 부른다.

 

  System of Linear Equation의 Solution은 하나이거나, 무수히 많거나, 해가 없는 경우 3가지가 있다.

 

 

- System of Linear Equation에서 a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n의 계수만을 이용해 나타낸 행렬을 계수행렬(Coefficient Matrix)라 하고 b까지 포함하면 첨가행렬(Augmented Matrix)라 부른다.

 

- System of Linear Equation를 Augmented Matrix로 바꾸고, 한 행에 영이 아닌 상수배를 하여 다른 행에 더하거나, 두 행을 교환하는 방법으로 변수의 값을 구한다.

 

- 연산에서 ~ 은 해 집합이 동일하다는 의미이다.

 

 

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1. 2. 사다리꼴 행렬(Row Echelon Form Matrix)

 

- 선두 원소(Leading Entry): 한 행의 가장 왼쪽에 있는 0이 아닌 원소.

 

- 사다리꼴 행렬(Row Echelon Form Matrix)

 

  1) 모든 원소가 0으로 구성된 행은 맨 아래의 행에 위치한다.

 

  2) Leading Entry가 있는 열에서 Leading Entry 아래에 있는 모든 원소는 0이다.

 

  3) 임의의 연속된 두 행에 대하여 밑에 있는 행의 선두원소는 위에 있는 행의 선두 원소보다 오른쪽에 놓여야 한다.

 

 

- 축약 사다리꼴 행렬(Reduced Row Echelon Form Matrix)

 

  1) Row Echelon Form Matrix이어야 한다.

 

  2) 각 행의 Leading Entry는 1이다.

 

  3) Leading Entry가 있는 열에서 Leading Entry만 1이고 나머지는 모두 0이다.

 

 

- 임의의 Matrix에 대하여 연산을 유한 번 반복하면 (Reduced) Row Echelon Form Matrix로 만들 수 있다.

 

- 임의의 Matrix에 대하여 Row Echelon Form Matrix형태는 다양하지만 Reduced Row Echelon Form Matrix의 형태는 단 1개이다.

 

- 임의의 Matrix를 Row Echelon Form Matrix로 바꾸는 방법을 Gauss Elimination, Reduced Row Echelon Form Matrix로 바꾸는 방법을 Gauss-Jordan Elimination이라 부른다.

 

 

- 피벗(Pivot): 임의의 Matrix를 Reduced Row Echelon Form Matrix로 변환할 때, Leading Entry의 위치.

 

- 피벗열(Pivot Column): Pivot이 있는 열.

 

 

 

- 기본변수(Basic Variable): (Reduced) Row Echelon Form Matrix에서 Pivot Column에 대응하는 Variable.

 

- 자유변수(Free Variable): Basic Variable을 제외한 Variable.

 

- 서로 다른 식의 개수보다 변수의 수가 더 많으면 해는 무수히 많게 된다. 하지만 이 때도 해를 표현하고 싶은데, 이럴 때는 Free Variable을 임의의 미지수로 놓고, 이 미지수를 기준으로 Basic Variable을 정리하여 표현하면 된다.

 

 

- System of Linear Equation에서 [0 … 0 b]의 행이 존재하면 그 선형방정식은 해가 존재하지 않는다.

 

- Free Variable이 하나도 없으면 유일한 해를 가지고, 하나라도 있다면 해는 무수히 많게 된다.

 

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1. 3. 동차선형방정식(Homogeneous System of Linear Equation)

 

- 동차선형방정식(Homogeneous System of Linear Equation): 항상 해가 존재하는 특수한 형태의 선형방정식.

오른쪽의 상수항이 모두 0으로 되어 있다.

 

- 비동차선형방정식(Nonhomogeneous System of Linear Equation): 상수항이 0이 아닌 선형방정식.

 

- Homogeneous System of Linear Equation은 x₁ = x₂ = … = x_n = 0인 해를 항상 가지기 때문에, 적어도 하나 이상의 해가 반드시 존재한다.

 

- x₁ = x₂ = … = x_n = 0 인 해를 자명한 해(Trivial Solution)라 부르고, 다른 해가 존재할 때 그 해를 자명하지 않은 해(Nontrivial Solution)이라 부른다.

 

- Homogeneous System of Linear Equation이 하나 이상의 Free Variable를 가지면, 그 Homogeneous System of Linear Equation은 Nontrivial Solution을 가진다.

 

- Homogeneous System of Linear Equation의 해를 구할 때도 (Reduced) Row Echelon Form Matrix를 이용해서 구하면 된다.

 

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