03. 벡터의 독립과 종속(Independent and Dependent of Vector)

 

3. 1. 독립과 종속(Independent and Dependent)

 

- 벡터 집합 속에 있는 하나의 벡터를 나머지 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 없다면 독립(Independent)이라 하고, 선형결합으로 나타낼 수 있다면 종속(Dependent)이라 부른다.

 

- Homogeneous System of Linear Equation이 Trivial Solution만을 가지면 독립이다.

 

  즉, 모든 열에 Pivot이 존재하면 독립이다.

 

- 그러니 어떤 벡터 집합의 Independent and Dependent를 판단할 때는 벡터 집합을 Homogeneous System of Linear Equation Ax = 0의 꼴로 바꾼 후 해를 구해서 자명한 해만을 가지는지 확인하면 된다.

 

 

- 독립과 종속의 성질(Properties of Independent and Dependent).

 

  1. 영 벡터가 아닌 하나의 벡터는 독립이다.

 

  2. 영 벡터가 아닌 두 개의 벡터가 있을 때 서로 실수배가 아니라면 두 개의 벡터는 독립이다.

 

  3. 벡터의 집합에서 영 벡터가 포함되면 그 벡터 집합은 종속이다.

 

  4. 벡터 집합의 벡터 수가 벡터가 정의되는 차원보다 더 많으면 그 벡터 집합은 종속이다.

 

  5. v₁, v₂, … , v_n 이 종속이면 v₁, v₂, … , v_n 을 포함하는 벡터 집합들은 종속이다.

 

  6. v₁, v₂, … , v_n 이 독립이면, v₁, v₂, … , v_n 에서 중복되지 않게 뽑은 임의의 벡터들은 독립이다.

 

  7. 벡터 집합 v₁, v₂, … , v_n이 독립이면 Span{ v₁, v₂, … , v_n }에 있는 임의의 벡터는 적당한 real number k에 대하여 k₁v₁ + k₂v₂ + … + k_nv_n 으로 유일하게 표시된다.

 

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3. 2. 내적과 직교(Inner Product and Orthogonal)

 

- 0이 아닌 두 벡터의 유사도를 측정하거나 사이 각을 계산하는 도구로 내적을 사용한다.

 

- u · v = | u | | v | cos θ. [0° ≤ θ ≤ 180° or 0 ≤ θ ≤ π]

 

  = u₁v₁ + u₂v₂ + … + u_nv_n.

 

- θ 는 두 벡터 사이의 각의 크기.

 

- Inner Product = dot Product = Scalar Product.

 

 

- 두 벡터의 사이 각(Angle Between Two Vectors): cos θ = u · v / | u | | v |.

 

- 직교(Orthogonal): u ⊥ v  <=>  u · v = 0.

 

- 평행(Parallel): u // v  <=>  u · v = ± | u | | v |.

 

 

- 내적의 성질(Properties of Inner Product).

 

  1) u · v = v · u.

 

  2) k( u · v ) = (ku) · v = u · (kv).

 

  3) u · (v + w) = u · v + u · w.

 

  4) u · u = | u |².

 

  5) | u · v | ≤ | u | | v |.

 

  6) | u + v | ≤ | u | + | v |.

 

  7) | u + v |² + | u – v |² = 2| u |² + 2| v |².

 

 

- 벡터의 유사도(Vector Similarity).

 

  1) Similarity Between Two Vectors u, v = u · v / max{ | u |² , | v |² }.

 

  2) 두 벡터의 Similarity가 1에 가까우면 두 벡터는 방향과 크기가 거의 일치한다.

 

  3) -1에 가까우면 크기는 같지만 방향이 반대이다.

 

 

- 정사영 벡터(Orthogonal Projection): 두 벡터 OP = u, OQ = v에 대하여 점 P에서 선분 OQ에 내린 수선의 발을 R이라 할 때, OR = w를 u의 v위의 정사영 벡터(Orthogonal Projection)라 하고 기호로 proj_vu 로 나타낸다.

 

 

- proj_vu = ( u · v / | v |² ) vector v.

 

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