02. 벡터와 선형방정식(Vector and Linear Equation)

 

 

2. 1. 벡터(Vector)

 

- Vector: 크기와 방향을 함께 갖는 양.

 

- Scalar: 크기만을 갖는 양.

 

- Vector는 문자위에 화살표를 그려서 표현하거나, 소문자를 굵게 표현하여 나타낸다.

 

- Unit Vector: 크기가 1인 벡터.

 

- Zero Vector: 시점과 종점이 일치하여 크기가 0인 벡터.

 

- Inverse Vector: Vector a와 크기가 같고 방향이 반대인 vector -a.

 

- Norm: 벡터의 크기를 일컫는 말.

 

- 벡터에 대하여 덧셈, 뺄셈, 실수배를 수행할 수 있고, 평행을 정의 할 수 있다.

 

- 위치벡터(Position Vector): 원점을 시점으로 하는 벡터.

 

- 자유벡터(Free Vector): 시점이 원점이 아닌 벡터.

 

 

- Vector를 표현할 때 Coordinate, Row Vector, Column Vector로 표현할 수 있다.

 

  a = (x₁, x₂, x₃) , a = [x₁, x₂, x₃] , a = [x₁, x₂, x₃]^T.

 

 일반적으로 Vector는 Column Vector로 표현한다.

 

- 표준단위벡터(Standard Unit Vector): 각 축의 양의 방향으로 크기가 1인 벡터(e₁, e₂, … , e_n).

 

- Properties of Vector.

 

  1) Vector는 데이터의 묶음으로 생각할 수 있다.

 

  2) 1차원 공간에서는 방향성이 없기 때문에, Vector는 최소 2차원 공간에서부터 정의된다.

 

  3) Vector의 연산은 같은 차원에서 수행된다.

 

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2. 2. 벡터와 선형방정식(Vector and Linear Equation)

 

- 벡터 v₁, v₂, … v_n 과 실수 k₁, k₂, … , k_n 에 대하여 k₁v₁ + k₂v₂ + … k_nv_n 을 벡터 v₁, v₂, … v_n 의 선형결합(Linear Combination)이라 한다.

 

- 선형방정식을 열벡터의 형태로 나타내는 것을 벡터 방정식(Vector Equation)이라 부른다.

 

- 선형방정식을 푼다를 벡터적으로 해석하면 a₁, a₂, … , a_n 의 Vector를 Linear Combination해 Vector b를 나타내는 방법을 찾는 과정이다.

 

 

 

- Rⁿ 에 속한 임의의 v₁, v₂, … , v_p의 모든 Sef of Linear Combination을 Span{v₁, v₂, … , v_p} 이라 표시하고, Span{v₁, v₂, … , v_p}은 R_n 의 부분집합이다.

 

- Span{v₁, v₂, … , v_p} = k₁v₁ + k₂v₂ + … + k_pv_p 로 나타내어지는 모든 벡터의 집합이다. [k is real number]

 

- R³ 에서 Span{v₁}은 3차원공간에서의 직선이고, Span{v₁ , v₂}는 3차원공간에서의 평면이다.

 

  x = tv / x = su + tv. [s, t is real number, u, v is vector]

 

- b가 Span{v₁, v₂, … , v_p}에 속한다는 것은 Vector Equation: x₁v₁ + x₂v₂ + … x_pv_p = b가 해를 갖는다는 것과 동치이다.

 

 

- 정리: R³ 공간내에서 Span{v₁, v₂} = k₁v₁ + k₂v₂가 있으면 이 벡터의 집합은 평면을 이루게 된다. 이 때, b라는 벡터가 이 평면에 속하는지 알고 싶으면 Span{v₁, v₂} = k₁v₁ + k₂v₂ = b를 계산해서 해가 있는지 유무를 확인하면 된다. 해가 있다면 b는 위 평면에 속하게 되고, 해가 없다면 b는 위 평면에 속하지 않게 된다.

 

Linear Equation	Vector Equation
유일한 해가 존재한다.	선형결합으로 b를 유일하게 나타낼 수 있다.
무수히 많은 해가 존재한다.	선형결합으로 b를 나타내는 방법이 무수히 많다.
해가 없다.	선형결합으로 b를 나타낼 수 없다.

 

- 특이해(Particular Solution, p):  {Solution of Ax = b} = {Solution of Ax = 0} + p 에서 p.

 

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