11. 직선과 평면의 방정식(Equations of Straight Lines and Planes)

 

11. 1. 직선의 방정식(Equation of a Straight Line)

 

 

- position vector a 인 점 A를 지나고 vector u에 평행한 직선의 방정식

 

  p = a + tu. [p is vector & t is real number]

 

- 점 A(x₁ , y₁, z₁) 을 지나고 vector u = (a, b, c) 에 평행한 직선의 방정식

 

  (x – x₁) / a = (y – y₁) / b = (z – z₁) / c.

 

 만약 분모가 0이면 ex) a = 0 이면, 방정식은 x = x₁ , (y – y₁) / b = (z – z₁) / c 꼴로 표현한다.

 

- 두 점 A(x₁ , y₁ , z₁), B(x₂ , y₂ , z₂) 를 지나는 직선의 방정식

 

  (x – x₁) / (x₂ – x₁) = (y – y₁) / (y₂ – y₁) = (z – z₁) / (z₂ – z₁).

 

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11. 2. 두 직선 각의 크기(Angle Between Two Lines)

- 두 직선 l₁ , l₂ 의 vector가 각각 u₁ = (a₁ , b₁ , c₁), u₂ = (a₂ , b₂ , c₂) 일 때, 두 직선이 이루는 각의 크기를 θ[0 ≤ θ ≤ π/2] 라 하면

 

   => cos θ = | u₁ · u₂ | / | u₁ | | u₂ |.

 

- 두 직선 l₁ , l₂ 의 vector가 각각 u₁ = (a₁ , b₁ , c₁), u₂ = (a₂ , b₂ , c₂) 일 때,

 

   1) l₁ ⊥ l₂  <=>  u₁ · u₂ = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0.

 

   2) l₁ // l₂  <=>  u₁ · u₂ = ± | u₁ | | u₂ |.

 

                            u₁ = ku₂ .

 

                            a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂ .

 

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11. 3. 평면의 방정식(Equations of Planes)

 

 

 

- 점 A(x₁ , y₁ , z₁) 을 지나고 vector n = (a, b, c) 에 수직인 평면의 방정식

 

  a(x – x₁) + b(y – y₁) + c(z – z₁) = 0.

 

- 좌표공간에서 x, y, z에 관한 일차방정식 ax + by + cz + d = 0 은 벡터 n = (a, b, c)에 수직인 평면을 나타낸다.

 

- 두 평면의 교선의 방정식은 두 평면의 방정식을 연립하여 한 문자를 다른 두 문자에 대한 식으로 나타내여 구한다.

 

- 두 평면 ax + by + cz + d = 0, a’x + b’y + c’z + d’ 의 교선을 포함하는 평면의 방정식은

 

  ax + by + cz + d + k(a’x + b’y + c’z + d’) = 0. [k is real number]

 

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11. 4. 두 평면의 각의 크기(The Size of the Angle between Two Planes)

 

 

- 두 평면 A , B의 법선 벡터가 각각 n₁ = (a₁ , b₁ , c₁), n₂ = (a₂ , b₂ , c₂) 일 때, 두 평면이 이루는 각의 크기를 θ[0 ≤ θ ≤ π/2] 라 하면

 

  => cos θ = | n₁ · n₂ | / | n₁ | | n₂ |.

 

- 직선의 방향벡터를 u, 평면의 법선벡터를 n 이라 하면, 직선과 평면이 이루는 각의 크기 θ는

 

  => cos(π/2 - θ) = sinθ = | u · n | / | u | | n |.

 

- 두 평면 A, B 의 vector가 각각 n₁ = (a₁ , b₁ , c₁), n₂ = (a₂ , b₂ , c₂) 일 때,

 

  1) A ⊥ B  <=>  n₁ · n₂ = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0.

 

  2) A // B  <=>  n₁ = kn₂ .

 

                          a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂ .

 

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11. 5 점과 평면 사이의 거리(Distance Between Point and Plane)

 

- 점 A(x₁ , y₁ , z₁) 와 평면 ax + by + cz + d = 0 사이의 거리는

 

  | ax₁ + by₁ + cz₁ + d| / √(a² + b² + c²).

 

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