09. 좌표공간(Coordinate Space)

 

 

9. 1. 좌표공간(Coordinate Space)

 

 

- 평면에서는 x축, y축을 사용하듯, 공간에서는 x-axis, y-axis, z-axis의 3개의 좌표축을 사용한다.

 

- x축 y축을 포함하는 평면을 xy-plane, y축 z축을 포함하는 평면을 yz-plane, z축 x축을 포함하는 평면을 zx-plane이라 부르고, 이들 세 평면을 통틀어 좌표평면이라 부른다.

 

  3개의 좌표축과 3개의 좌표평면이 존재하는 공간을 좌표공간(Coordinate Space)이라 부른다.

 

- 점 A(a, b, c)와

  1) x축에 대하여 대칭인 점은 (a, -b, -c).

 

  2) y축에 대하여 대칭인 점은 (-a, b, -c).

 

  3) z축에 대하여 대칭인 점은 (-a, -b, c).

 

  4) 원점에 대하여 대칭인 점은 (-a, -b, -c).

 

  5) xy평면에 대하여 대칭인 점은 (a, b, -c).

 

  6) yz평면에 대하여 대칭인 점은 (-a, b, c).

 

  7) zx평면에 대하여 대칭인 점은 (a, -b, c).

 

  8) 좌표축에 내린 수선의 발

 

      x축은 (a, 0, 0) , y축은 (0, b, 0) , z축은 (0, 0, c)

 

  9) 좌표평면에 내린 수선의 발

 

      xy 평면은 (a, b, 0), yz 평면은 (0, b, c), zx 평면은 (a, 0, c).

 

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9. 2. 좌표공간의 기초(The Basis of Coordinate Space)

 

- 두 점사이의 거리(Distance Between Two Points)

 

  1) 좌표공간에서 두 점 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) 사이의 거리는

 

     √{ (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)² }.

 

  2) 원점 O와 점 A(x₁, y₁, z₁) 사이의 거리는

 

     √( x₁² + y₁² + z₁² ).

 

 

- 선분의 내분점과 외분점(The Internally and Externally Dividing Points of a Segment Line).

 

  1) 좌표공간에서 두 점 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) 의 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P는

 

     P = ( (mx₂ + nx₁) / (m + n) , (my₂ + ny₁) / (m + n) , (mz₂ + nz₁) / (m + n) ).

 

  2) 좌표공간에서 두 점 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) 의 선분 AB를 m : n으로 외분하는 점 Q는

 

    Q = ( (mx₂ - nx₁) / (m - n) , (my₂ - ny₁) / (m - n) , (mz₂ - nz₁) / (m - n) ).

 

  3) 좌표공간에서 두 점 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) 의 선분 AB 의 중점 M은

 

    M = ( (x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2 , (z₁ + z₂) / 2 ).

 

 

- 삼각형의 무게중심(Center of Gravity of a Triangle).

 

  좌표공간에서 세 점 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 무게중심 G는

 

  G = ( (x₁ + x₂ + x₃) / 3 , (y₁ + y₂ + y₃) / 3 , (z₁ + z₂ + z₃) / 3 ).

 

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9. 3. 구의 방정식(Equation of a Sphere)

 

1) 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 구의 방정식

 

    x² + y² + z² = r².

 

2) 중심이 (a, b, c)이고 반지름의 길이가 r인 구의 방정식

 

   (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r².

 

3) 구의 방정식의 일반형

 

   x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0.

 

  중심의 좌표(Center): (-A/2 , -B/2 , -C/2) , 반지름의 길이(Radius): √(A² + B² + C² – 4D) / 2.

 

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