03. 평면곡선의 접선(Tangent of Plane Curve)

 

3. 1. 음함수의 미분법(Differentiation of Implicit Funtion)

- y = f(x) 꼴의 함수를 f(x, y) = 0의 꼴로 나타날 때 이를, 음함수(Implicit Function)라고 부른다.

 

- 음함수의 미분법은 x를 미분할 때 x와 관련된 변수 y도 미분하기 위한 방법이다.

 

  또한 f(x, y) = 0 꼴의 함수를 y = f(x) 꼴로 변경하기 어려울 때 바로 미분하기 위해서 사용한다.

 

- f(x, y) = 0 에서 각 항에 대하여 x에 대하여 미분한 후 dy/dx 를 구한다.

 

ex) 4x² + 2y² = 29.

 

   derived function: 8x + 4y(dy/dx) = 0  =>  dy/dx = - 2x/y.

 

ex ) 2xy = 0.

 

   derived function: 2 (x)’ y + 2 x (y)’ = 2y + 2x(dy/dx) = 0  =>  dy/dx = -y/x .

 

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3. 2. 평면곡선의 접선 방정식(Tangent Equation of Plane Curve)

- f(x, y) = 0 꼴의 평면곡선 위의 접선의 방정식은 음함수의 미분법을 이용해서 dy/dx를 구하고, 여기에 접하는 점의 좌표를 대입하여 접선의 기울기를 구한 후, 접점과 기울기를 이용해 접선의 방정식을 구한다.

 

 

- 포물선 접선 방정식(Tangent Equation of Palabola).

 

  1) 포물선 y² = 4px 위의 점 (x₁ , y₁) 에서의 접선의 방정식.

 

     y₁y = 2p(x + x₁).

 

  2) 포물선 x² = 4py 위의 점 (x₁ , y₁) 에서의 접선의 방정식.

 

     x₁x = 2p(y + y₁).

 

 

- 타원 접선 방정식(Tangent Equation of Ellipse).

 

  1) 타원 x² / a² + y² / b² = 1 의 점 (x₁, y₁) 에서의 접선의 방정식.

 

      xx₁ / a² + yy₁ / b² = 1.

 

 

- 쌍곡선 접선 방정식(Tangent Equation of Hyperbola).

 

  1) 쌍곡선 x² / a² - y² / b² = 1 의 점 (x₁, y₁) 에서의 접선의 방정식.

 

     xx₁ / a² - yy₁ / b² = 1.

 

  2) 쌍곡선 x² / a² - y² / b² = -1 의 점 (x₁, y₁) 에서의 접선의 방정식.

 

     xx₁ / a² - yy₁ / b² = -1.

 

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3. 3. 매개변수 함수의 미분법(Differentiation of parametric functions)

 

- x = f(t), y = g(t)가 t에 대하여 미분가능하고 f’(t) ≠ 0 이면

 

  dy / dx = (dy/dt) / (dx/dt) = g’(t) / f’(t).

 

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