01. 이차곡선 - 1(Conic Section - 1)

 

1. 1. 포물선의 방정식(Equation of Parabola)

 

- 포물선(Parabola): 평면 위의 한 정점 F와 이 점을 지나지 않는 한 정직선 l에 이르는 거리가 같은 점 P의 자취.

 

- 초점(Focus): 정점 F.

 

- 준선(Derectrix): 정직선 l.

 

- 축(Axis): 초점 F를 지나고, 준선 l에 수직인 직선.

 

- 꼭짓점(Vertex): 포물선과 축의 교점.

 

 

- 초점의 좌표를 F(p, 0) , 준선을 x = - p 로 할 때의 포물선의 방정식의 표준형은 y² = 4px.

 

  이 때, 꼭짓점의 좌표는 (0, 0), 축의 좌표는 y = 0이다.

 

- 초점의 좌표를 F(0, p) , 준선을 y = - p 로 할 때의 포물선의 방정식의 표준형은 x² = 4py.

 

  이 때, 꼭짓점의 좌표는 (0, 0), 축의 좌표는 x = 0이다.

 

 

 

 

- y² = 4px 그래프를 x -> m만큼, y -> n만큼 평행이동(Translation)한 포물선.

 

 => (y – n)² = 4p(x - m).

 

 => 초점: (m + p, n) , 준선 x = -p + m , 꼭짓점 (m, n) , 축 y = n.

 

- x² = 4py 그래프를 x -> m만큼, y -> n만큼 평행이동(Translation)한 포물선.

 

 => (x – m)² = 4p(y - n).

 

 => 초점: (m, n + p) , 준선 y = -p + n , 꼭짓점 (m, n) , 축 x = m.

 

 

- 포물선의 방정식의 일반형(General Form of Parabolic Equation).

 

  1) y² = 4px  ->  y² + Ax + By + C = 0. [A ≠ 0]

 

  2) x² = 4py  ->  x² + Ax + By + C = 0. [B ≠ 0]

 

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1. 2. 타원의 방정식(Equation of Ellipse)

 

- 타원(Ellipse): 평면 위의 두 정점 F와 F’ 으로부터의 거리의 합이 일정한 점 P의 전체 집합.

 

- 초점(Focus): 두 정점 F와 F’.

 

- 중심(Center): 두 초점을 이은 선분의 중점.

 

- 꼭짓점(Vertex): 타원의 중심을 원점에 둘 떄, 타원과 두 축(x축, y축)의 교점.

 

- 장축(Major Axis): 꼭짓점을 수직으로 직선으로 연결할 때, 가장 긴 직선.

 

- 단축(Minor Axis): 꼭짓점을 수직으로 직선으로 연결할 때, 가장 짧은 직선.

 

 

1) 두 초점 F(c, 0), F’(-c, 0) 이고, 거리의 합이 2a 인 타원의 방정식.

 

    => x² / a² + y² / b² = 1.  [ b² = a² – c²]

 

    => 꼭짓점의 좌표: (a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b).

 

    => 중심의 좌표: (0, 0).

 

2) 두 초점 F(0, c), F’(0, -c) 이고, 거리의 합이 2b 인 타원의 방정식.

 

    => x² / a² + y² / b² = 1.  [ a² = b² – c²]

 

    => 꼭짓점의 좌표: (a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b).

 

    => 중심의 좌표: (0, 0).

 

 

 

 

- x² / a² + y² / b² = 1을 x -> m만큼, y -> n만큼 평행이동(Translation).

 

  => (x – m)² / a² + (y – n)² / b² = 1.

 

 

- 타원 방정식의 일반형(General Form of Elliptic Equation).

 

   Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0. [AB > 0, A ≠ B]

 

   A = B가 같으면 원의 방정식이 된다.

 

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