07. 도함수의 활용 - 2(Use of Derived Function - 2)

 

7. 1. 함수의 극대와 극소(Local Maximum and Minimum Values of a Function)

 

- 함수의 극대와 극소(Local Maximum and Minimum Values of a Function).

 

  1) x = a의 좌우에서 f(x)가 증가상태에서 감소상태로 바뀔 때, f(x)는 x = a에서 극대(Local Maximum)라 하고, f(a)를 극댓값이라 부른다.

 

  2) x = b의 좌우에서 f(x)가 감소상태에서 증가상태로 바뀔 때, f(x)는 x = b에서 극소(Local Minimum)라 하고, f(b)를 극솟값이라 부른다.

 

 

- 극댓값과 극솟값을 합쳐서 극값(Local Extrema)이라 부른다.

 

- y = f(x)에서 x = a에서 미분가능하고 x = a에서 극값을 가지면 f’(a) = 0 이다.

 

- 극대 극소를 찾는 방법은 f(x)의 도함수인 f’(x)를 구하고 f’(a) = 0을 만족하는 a를 찾는다.

 

  이후 a의 좌우에서 f’(x)의 값이 양수인지 음수인지 확인하여,

 

  양 -> 음 이면 극대, 음 -> 양 이면 극소로 판단한다.

 

 

- 다항함수에서 최고차항의 차수가 짝수이면 반드시 극값을 갖고, 극 값은 홀수개 이다.

 

- 다항함수에서 최고차항의 차수가 홀수이면 극값을 갖지 않을수도 있고, 극 값을 가지면 짝수개 이다.

 

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7. 2. 함수의 최대값과 최솟값(Global Maximum and Minimum Values of a Function)

 

- 함수 f(x)가 주어진 구간에서 취할 수 있는 가장 큰 값을 최댓값(Global Maximum Value), 가장 작은 값을 최솟값(Global Minimum Value)이라 부른다.

 

 

- 최댓값, 최솟값 구하기(Find the Global Maximum and Minimum Values).

 

  1) 주어진 구간에서 극댓값, 극솟값을 모두 구한다.

 

  2) 양 끝점의 함수 값을 구한다. [닫힌 구간]

 

  3) 양 끝점의 함수 값, 극댓값, 극솟값을 모두 비교하여 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

 

 

- 극값이 하나만 존재하면, 극솟값일 때는 최솟값이 되고, 극댓값일 때는 최댓값이 된다.

 

- 도형에서의 최대최소를 구할 때는 변수를 정하고, 식을 세운 뒤, 미분하여 구한다.

 

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7. 3. 방정식과 부등식에서 활용(Utilized in Equations)

 

- f(x) = 0의 실근은 f(x)과 x축과의 교점의 x좌표이다.

 

- f(x) = g(x)의 실근은 f(x)와 g(x)의 교점의 x좌표이다.

 

 

- 삼차방정식의 근의 판별(Discriminant of Cubic Equation).

 

  삼차방정식이 2개의 극값을 가질 때, 근을 판별하는 방법.

 

  1) 서로 다른 세 실근을 가질 조건.

 

       Local Maximum X Local Minimum < 0.

 

  2) 이중근과 다른 한 근을 가질 조건 -> 서도 다른 두 실근, x축에 그래프가 접한다.

 

       Local Maximum X Local Minimum = 0.

 

  3) 한 실근과 두 허근을 가질 조건 -> 한 실근.

 

       Local Maximum X Local Minimum > 0.

 

 

- 삼차방정식이 극값이 존재하지 않을 때는, 삼중근을 가지거나, 한 실근과 두 허근을 가질 때다.

 

- 모든 실수 x에 대하여 f(x) > 0 or f(x) < 0 이 성립함을 증명할 때.

 

  1) 모든 실수 x에 대하여 f(x) > 0.

 

      f(x) 의 최솟값(Global Minimum Values of f(x)) > 0.

 

  2) 모든 실수 x에 대하여 f(x) < 0.

 

      f(x) 의 최댓값 (Global Maximum Values of f(x)) < 0.

 

 

- 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도.

 

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