08. 부정적분과 정적분(Indefinite Integral and Definite Integral)

 

8. 1. 부정적분(Indefinite Integral)

 

- 적분은 미분의 역연산이다.

 

- F(x)의 도함수가 f(x) 일 때, F(x)를 f(x)의 부정적분(Indefinite Integral)이라 부른다.

 

- 적분의 기호로 ∫ (integral) 을 사용한다.

 

- ∫ f(x)dx = F(x) + C.

  여기서 dx는 x를 기준으로 적분한다는 걸 의미하고, x를 적분변수(Integral Variable), C는 적분상수(Integral Constant)라 부른다.

 

 

- 부정적분과 미분의 관계(Relationship between Indefinite integral and Differential).

 

  1) ∫ {d/dx f(x)} dx = f(x) + C.  →  미분하고 적분하면 기존의 식 + C.

 

  2) d/dx {∫ f(x)dx} = f(x).  →  적분하고 미분하면 기존의 식.

 

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8. 2. 부정적분의 계산(Calculation of Indefinite Integrals)

 

- xⁿ 의 부정적분.

 

  ∫ xⁿ dx = 1/(n + 1)  X  x^{n + 1} + C.

 

  ∫(ax + b)ⁿ dx = 1/a  X  1/(n + 1)  X  (ax + b)^{n + 1} + C.

 

 

- 부정적분의 공식(Formula of0 Indefinite Integral).

 

  1) ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx. [k is real number]

 

  2) ∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx.

 

- 적분은 미분의 역연산이므로 적분을 하고나서 검증할 때는 적분한 식을 다시 미분해서 기존의 식과 같은지 비교하면 된다.

 

- 구분구적법: 복잡한 도형의 넓이나 부피를 구할 때, 주어진 도형을 작은 기본 도형으로 세분화 하고, 세분화 된 기본도형의 넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 후 이 근삿값을 극한값으로 보내서 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법.

 

  1) 구간을 기본도형으로 n등분한다.

 

  2) n개의 기본도형의 넓이의 합이나 부피의 합을 구한다.

 

  3) 넓이의 합이나 부피의 합의 극한값을 구한다.

 

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8. 3. 정적분(Definite Integral)

 

- 부정적분은 함수(Function)를, 정적분은 실수(Real Number)(도형의 넓이와 부피 등)를 의미한다.

 

- 함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때,

 

 

 

- 정적분의 성질(Properties of Definite Integral).

 

 

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8. 4. 적분과 미분의 관계(Relationship between Integral and Differential)

 

- 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 a ≤ x ≤ b 일 때,

 

 

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8. 5. 정적분의 계산(Calculation of Definite Integrals)

 

- 정적분의 공식(Definite Integral Formula).

 

  1) ∫_a^b kf(x) dx = k∫_a^b f(x) dx. [k is real number]

 

  2) ∫_a^b ( f(x) ± g(x) )dx = ∫_a^b f(x) dx ± ∫_a^b g(x) dx.

 

  3) ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx.

 

  4) ∫_a^b A(x - a)(x - b) dx = -A/6 X (b - a)³.

 

 

- 절댓값 기호가 있는 정적분은 적분구간을 나누어서 계산한다.

 

   나눌 때 절댓값 기호 안의 식을 0 으로 하는 x값을 기준으로 한다.

 

- 우함수(Even Function): f(-x) = f(x) , y축에 대하여 대칭인 함수.

 

- 기함수(Odd Function): f(-x) = -f(x) , 원점에 대하여 대칭인 함수.

 

- f(x) 가 f(-x) = f(x)를 만족할 때,

 

   ∫_-a^a f(x) dx = 2 ∫₀^a f(x) dx.  ->  f(x)는 짝수차항.

 

- f(x) 가 f(-x) = -f(x)를 만족할 때,

 

   ∫_-a^a f(x) dx = 0.  ->  f(x)는 홀수차항.

 

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