03. 함수의 극한(Limit of a Function)

 

3. 1. 함수의 극한(Limit of a Function)

 

- (x → a) 일 때 함수의 수렴(Convergence of the function when (x → a)). [a is real number].

 

  1) 함수 f(x)에서 x ≠ a이고, x의 값이 a에 한 없이 가까워질 때 f(x)가 일정한 값 A 에 한 없이 가까워지면

 

   lim (x → a) f(x) = A.

 

 

- (x → a) 일 때 함수의 발산(Divergence of the function when (x → a)). [a is real number].

 

  1) 함수 f(x)에서 x ≠ a이고, x의 값이 a에 한 없이 가까워질 때 f(x)가 양의무한대나 음의무한대로 발산하면

 

   lim (x → a) f(x) = ∞ , lim (x → a) f(x) = -∞ .

 

 

- (x → ∞) , (x → -∞) 일 때 함수의 수렴(Convergence of the function when (x → ∞) , (x → -∞)).

 

  1) 함수 f(x)에서 x의 값이 양의 방향으로 한 없이 커질 때, f(x)가 일정한 값 A에 한 없이 가까워지면

 

   lim (x → ∞) f(x) = A.

 

  2) 함수 f(x)에서 x의 값이 음의 방향으로 한 없이 커질 때, f(x)가 일정한 값 B에 한 없이 가까워지면

 

   lim (x → -∞) f(x) = B.

 

 

- (x → ∞) , (x → -∞) 일 때 함수의 발산(Divergence of the function when (x → ∞) , (x → -∞)).

 

  1) 아래와 같이 4종류로 구별할 수 있다.

 

   lim (x → ∞) f(x) = ∞ , lim (x → ∞) f(x) = -∞ , lim (x → -∞) f(x) = ∞ , lim (x → -∞) f(x) = -∞ .

 

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3. 2. 좌극한과 우극한(Left Hand Limit and Right Hand Limit)

 

- 우극한(Right Hand Limit): x가 a보다 큰 값을 가지면서 a의 오른쪽에서 a로 한없이 가까워 질 때.

 

  lim (x → a+) f(x).

 

- 좌극한(Left Hand Limit): x가 a보다 작은 값을 가지면서 a의 왼쪽에서 a로 한없이 가까워 질 때.

 

  lim (x → a-) f(x).

 

- 극한값의 존재(Existence of Limit Values): x = a에서 우극한, 좌극한이 존재하고, 그 값이 서로 같을 때, x = a에서 극한은 존재한다고 말한다.

 

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3. 3. 함수의 극한값의 계산(Calculation of Function Limits)

 

- lim (x → a) f(x) = A , lim (x → a) g(x) = B 이면

 

  1) lim (x → a) cf(x) = c X lim (x → a) f(x) = cA. [c is real number]

 

  2) lim (x → a) (f(x) ± g(x)) = lim (x → a) f(x) ± lim (x → a) g(x) = A ± B.

 

  3) lim (x → a) (f(x) X g(x)) = lim (x → a) f(x) X lim (x → a) g(x) = A X B.

 

  4) lim (x → a) (f(x) / g(x)) = lim (x → a) f(x) / lim (x → a) g(x) = A / B.

 

  (x → a+), (x → a-), (x → ∞), (x → -∞) 에서도 성립한다.

 

 

- 다항함수에서 함수가 연속일 경우, lim (x → a) f(x) = f(a) 이다.

 

 

- 부정형 계산((Calculation of Indeterminate Form)).

 

  1) ∞ / ∞ -> 분모의 최고차항으로 분자를 나눈다.

 

  2) ∞ - ∞ -> root가 있으면 분모와 분자를 유리화하고, root가 없으면 최고차항으로 묶는다.

 

  3) 0 / 0 -> root가 있으면 유리화 먼저 한 후, 약분하고, root가 없으면 인수분해한 후 약분한다.

 

  4) ∞ X 0 -> root가 있으면 유리화 먼저 하고, root가 없으면 통분하거나 인수분해한다.

 

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3. 4. 함수의 극한의 활용(Use of Function Limits)

 

- lim (x → a) ( f(x) / g(x) ) = A 일 때,

 

  1) lim (x → a) g(x) = 0 이면, lim (x → a) f(x) = 0.

 

  2) A ≠ 0 이고, lim (x → a) f(x) = 0 이면, lim (x → a) g(x) = 0.

 

 

- 극한의 대소 관계.

 

  lim (x → a) f(x) = A , lim (x → a) g(x) = B 이면

 

  1) f(x) ≤ g(x) 이면, A ≤ B.

 

  2) f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) 이고 A = B 이면, lim (x → a) h(x) = A.

 

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