05. 미분계수와 도함수(Differential Coefficient and Derived Function)

 

5. 1. 미분계수(Differential Coefficient)

 

- 평균변화율(Average Rate of Change): 함수 f(x)에서 x의 값이 a에 b까지 변할 때, Δy / Δx 를 구간 [a, b]의 평균변화율이라 부른다.

 

  Δy / Δx = ( f(b) – f(a) ) / (b – a) = ( f(a + Δx) – f(a) ) / Δx.

 

- 평균변화율은 두 점 (a, f(a)), (b, f(b)) 를 지나는 직선의 기울기와 같다.

 

 

- 미분계수(Differential Coefficient): 함수 f(x)에서 x = a에서의 미분계수 f’(a) 는

 

  f’(a) = lim (Δx → 0) ( f(a + Δx) – f(a) ) / Δx .

 

  = lim (h → 0) ( f(a + h) – f(a) ) / h .

 

  = lim (x → a) ( f(x) – f(a) ) / (x - a).

 

- 미분계수 f’(a)는 f(x)의 x = a에서의 접선의 기울기와 같다.

 

 

- 미분가능성과 연속성(Differentiability and Continuity).

 

  1) 함수가 미분이 가능하기 위해서는 연속이고, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다.

 

  2) 함수 f(x)가 x = a에서 미분가능하면, f(x)는 x = a에서 연속이다. 다만 역이 반드시 성립하지는 않는다.

 

  불연속점과 뾰족점(좌미분계수와 우미분계수가 다르다)에서는 미분이 불가능 하다.

 

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5. 2. 도함수(Derived Function)

 

- 도함수(Derived Function): 미분계수를 함수 전체로 확장하여 함수를 미분하여 나온 새로운 함수.

 

  기호로 y’ , f’(x) , dy/dx 로 표현.

 

  f’(x) = lim (Δx → 0) (Δy / Δx).

 

  = lim (Δx → 0) ( f(x + Δx) – f(x) ) / Δx.

 

 

- 미분(Differential): f(x)에서 f’(x)를 구하는 것.

 

 

- 미분 공식(Differential Formula).

 

  1) y = c.  →  y’ = 0.

 

  2) y = xⁿ  →  y’ = nx^n-1.

 

  3) y = cf(x)  →  y’ = cf’(x).

 

  4) y = f(x) ± g(x)  →  y’ = f’(x) ± g’(x).

 

  5) y = f(x)g(x)  →  y’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x).

 

  6) y = f(x)g(x)h(x)  →  y’ = f’(x)g(x)h(x) + f(x)g’(x)h(x) + f(x)g(x)h’(x).

 

  7) y = { f(x) }ⁿ  →  y’ = n{ f(x) }^n-1 X f’(x).

 

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