06. 도함수의 활용 - 1(Use of Derived Function - 1)

 

6. 1. 접선의 방정식(Equation of Tangent Line)

 

- y = f(x)에서 접점 (a , f(a))에서의 접선의 방정식.

  y = f’(a)(x - a) + f(a).

 

- 기울기 m만 주어졌다면 접점을 미지수 (t , f(t)) 로 놓고 f’(t) = m 을 이용해 접점의 좌표를 구한다.

 

- 곡선 밖의 한 점이 주어졌다면 접점을 미지수 (t , f(t)) 로 놓고, 접선의 방정식 y = f’(t)(x - t) + f(t)를 세운 다음  곡선 밖의 한점을 접선의 방정식에 대입한다.

 

- y = f(x)에서 접점 (a , f(a))에서의 접선에 수직인 직선의 방정식.

 y = - 1/f’(a) X (x - a) + f(a).

 

 

- 두 곡선의 공통접선(Common Tangent of Two Curves).

 

  y = f(x) , y = g(x)가 정의될 때,

 

  1) 점 (a, b)에서 접하면, f(a) = g(a) = b 이고 f’(a) = g’(a) .

 

  2) 점 (a, b)에서 만나고 이 점에서 두 곡선에 그은 접선이 서로 수직이면,

 

      f(a) = g(a) = b 이고 f’(a) X g’(a) = -1.

 

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6. 2. 평균값 정리(Mean Value Theorem)

 

- 롤의 정리(Rolle’s Theorem).

 

  함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간(a, b)에서 미분가능할 때,

 

  f(a) = f(b)이면 f’(c) = 0(a < c < b)인 c가 적어도 하나 존재한다.

 

 

- 평균값 정리(Mean Value Theorem).

 

  함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간(a, b)에서 미분가능할 때,

 

  ( f(b) – f(a) ) / (b - a) = f’(c) (a < c < b)인 c가 적어도 하나 존재한다.

 

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6. 3. 함수의 증가와 감소(Increase and Decrease functions)

 

- 함수 f(x) 가 어떤 구간에 속하는 임의의 두수 x₁ , x₂ 에 대하여

 

  x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) < f(x₂) 이면 함수 f(x)는 그 구간에서 증가한다(Increase)고 한다.

 

  x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) > f(x₂) 이면 함수 f(x)는 그 구간에서 감소한다(Decrease)고 한다.

 

 

- f’(a) > 0 이면, f(x)는 x = a에서 증가상태에 있다고 한다.

 

  f’(a) < 0 이면, f(x)는 x = a에서 감소상태에 있다고 한다.

 

 

- 함수 f(x) 가 어떤 구간에서 미분가능하고 그 구간에서

 

  f’(x) > 0 이면 f(x)는 그 구간에서 증가한다(Increase)고 한다.

 

  f’(x) < 0 이면 f(x)는 그 구간에서 감소한다(Decrease)고 한다.

 

 

- f(x)가 어떤 구간에서 증가함수(Increase Function)이면 그 구간에서 f’(x) ≥ 0 이다.

 

- f(x)가 어떤 구간에서 감소함수(Decrease Function)이면 그 구간에서 f’(x) ≤ 0 이다.

 

 

- 모든 실수 x에 대하여 ax² + bx + c ≥ 0 인 조건   →   a > 0 , D ≤ 0.

 

- 모든 실수 x에 대하여 ax² + bx + c ≤ 0 인 조건   →   a < 0 , D ≤ 0.

 

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