04. 함수의 연속(Continuation of Functions)

 

4. 1. 함수의 연속(Continuation of Functions)

 

- 함수 f(x)가 x = a에서 연속이기 위한 조건(Conditions for f(x) to be continuous at x = a).

 

  1) f(a) 가 존재.

 

  2) lim (x → a) f(x) 가 존재.

 

  3) f(a) = lim (x → a) f(x).

 

 

- a ≤ x ≤ b = [a, b] , a ≤ x < b = [a, b) , a < x ≤ b = (a, b] , a < x < b = (a, b) .

 

- x ≤ a = (-∞, a] , x < a = (-∞, a) , x ≥ a = [a, ∞), x > a = (a, ∞).

 

- [a, b] 를 닫힌구간(Closed Interval), (a, b)를 열린구간(Open Interval)이라 부른다.

 

 

- 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서의 연속이기 위한 조건(Condition for f(x) to be continuous in the closed interval [a, b]).

 

  1) 열린구간 (a, b)에서 연속.

 

  2) lim (x → a+) f(x) = f(a).

 

  3) lim (x → b-) f(x) = f(b).

 

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4. 2. 연속함수의 성질(Properties of Continuation Function)

 

- 두 함수 f(x), g(x)가 x = a에서 연속이면 다음 함수도 모두 x = a에서 연속이다.

 

  1) kf(x) , 2) f(x) ± g(x) , 3) f(x)g(x) , 4) f(x) / g(x).

 

- 최대 최소의 정리(Extream Value Theorem).

 

  함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면, f(x)는 [a, b]에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

 

 

- 사이값 정리(Intermediate Value Theorem).

 

  함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(a) ≠ f(b) 이면, f(a)와 f(b)사이의 임의의 실수 k에 의하여

 

  f(c) = k인 c가 열린구간 (a, b)에서 적어도 하나 존재한다.

 

- 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(a)와 f(b)가 서로 다른 부호를 가질 때 (f(a)f(b) < 0), 방정식 f(x) = 0 은 열린구간 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

 

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