02. 급수(Series)

 

2. 1. 급수의 수렴과 발산(Convergence and Divergence of Series)

 

- 급수(Series): 수열의 각 항을 덧셈기호로 연결한 a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + … 을 급수라 부른다.

 

  a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + … = Σ (n = 1 → ∞) a_n .

 

- 부분합(Partial Sum): 급수에서 첫째항부터 n항 까지의 합을 S_n 이라고 칭하고 부분합이라 읽는다.

 

  S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n = Σ (k = 1 → n) a_k .

 

 

- 부분합으로 이루어진 수열 S₁, S₂, S₃, … , S_n, … 이 일정한 값 S에 수렴하면,

 

  lim (n → ∞) S_n = lim (n → ∞) Σ (k = 1 → n) a_k = Σ (n = 1 → ∞) a_n 은 S에 수렴한다(Convergence)고 한다.

 

  이 때, S를 급수의 합(S is sum of series)이라고 부른다.

 

 

- 급수에서 각 항의 부호가 교대로 +, -로 되면, 짝수번째 항까지의 부분합 S_2n 과, 홀수번째 항까지의 부분합 S_2n-1 의 극한 값을 각각 구한 후 비교한다.

 

  1) lim (n → ∞) S_2n = lim (n → ∞) S_2n-1 = S 이면 급수의 합은 S에 수렴(Convergence)한다.

 

  2) lim (n → ∞) S_2n ≠ lim (n → ∞) S_2n-1 이면 급수는 발산(Divergence)한다.

 

 

- 급수 Σ (n = 1 → ∞) a_n 이 수렴(Convergence)하면 lim (n → ∞) a_n = 0이다.

 

  lim (n → ∞) a_n ≠ 0이면, 급수 Σ (n = 1 → ∞) a_n 이 발산한다.

 

 

- 급수 Σ (n = 1 → ∞) a_n , Σ (n = 1 → ∞) b_n 이 수렴(Convergence)하면

 

  1) Σ (n = 1 → ∞) (a_n ± b_n) = Σ (n = 1 → ∞) a_n ± Σ (n = 1 → ∞) b_n .

 

  2) Σ (n = 1 → ∞) ka_n = kΣ (n = 1 → ∞) a_n . [k is real number]

 

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2. 2. 등비급수(Geometric Series)

 

- 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열 {ar^n-1}의 각 항을 +로 연결한 급수를 등비급수(Geometric Series)라 부른다.

 

  Σ (n = 1 → ∞) ar^n-1 = a + ar + ar² + … + ar^n-1 + …

 

- 등비급수의 수렴과 발산(Convergence and Divergence of Geometric Series).

 

  1) | r | < 1 일 때는 수렴하고, 등비급수의 합은 a / (1 - r) 이다.

 

  2) | r | ≥ 1 일 때는 발산한다.

 

  3) ar^n-1 에서는 a = 0 이고, | r | < 1 일 때 수렴한다.

 

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