01. 수열의 극한(Limit of Sequences)

 

 

1. 1. 수열의 수렴과 발산(Convergence and Divergence of Sequences)

 

- 수열 a₁, a₂, … , a_n , … 에서 n이 한 없이 커짐에 따라 a_n이 일정한 값 A에 한 없이 가까워지면 수열 {a_n}은 A에 수렴한다(Convergence)고 하며, A를 {a_n}의 극한 값(Limit Value)이라고 한다.

 

  lim (n → ∞) a_n = A.

 

- n → ∞ 은 양의 방향으로 n이 한 없이 커진다는 것을 의미한다.

 

  n → -∞ 은 음의 방향으로 n이 한 없이 커진다는 것을 의미한다.

 

 

- 수열 {a_n}이 수렴하지 않을 때, 수열 {a_n}은 발산한다(Divergnece)고 한다. 이 때 극한 값은 없다.

 

- 수열 {a_n}이 n이 한 없이 커질 때 a_n도 그 값이 한 없이 양의 방향으로 커지면 기호로

 

  lim (n → ∞) a_n = ∞.

 

- 수열 {a_n}이 n이 한 없이 커질 때 a_n도 그 값이 한 없이 음의 방향으로 커지면 기호로

 

  lim (n → ∞) a_n = -∞.

 

 

- 진동(Vibration): 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 경우. 이 때 극한 값은 없다.

 

  진동하는 순열도 발산하는 순열이다.

 

  ex) (-3)ⁿ .

 

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1. 2. 수열 극한 값의 계산(Calculation of Sequence Limits)

 

- 기본 공식(Basic Formula).

 

  lim (n → ∞) a_n = A , lim (n → ∞) b_n = B ,  

 

  1) lim (n → ∞) ca_n = c X lim (n → ∞) a_n = cA.

 

  2) lim (n → ∞) (a_n ± b_n) = lim (n → ∞) a_n ± lim (n → ∞) b_n = A ± B.

 

  3) lim (n → ∞) (a_n X b_n) = lim (n → ∞) a_n X lim (n → ∞) b_n = A X B.

 

  4) lim (n → ∞) (a_n / b_n) = lim (n → ∞) a_n / lim (n → ∞) b_n = A / B.

 

 

- lim (n → ∞) (1/n) = 0, lim (n → ∞) (k / n^p) = 0. [k is real number, p is positive number]

 

- ∞ / ∞ 꼴의 극한은 분모의 최고차항으로 분모와 분자를 각각 나눈다.

 

- ∞ - ∞ 꼴의 극한은 root가 있다면 분모 또는 분자를 유리화하고, root가 없다면 최고차항으로 묶어서 ∞ X real number 꼴로 변형한다.

 

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1. 3. 수열 극한 값의 대소 관계(Relationship between limit values ​​of a sequence)

 

- lim (n → ∞) a_n = A , lim (n → ∞) b_n = B 이면

 

  1) 모든 자연수 n에 대하여 a_n ≤ b_n 이면 A ≤ B 이다.

 

  2) 수열 {c_n}이 모든 자연수 n에 대하여 a_n ≤ c_n ≤ b_n 을 만족하고 A = B 이면, lim (n → ∞) c_n = A 이다.

 

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1. 4. 등비수열의 극한(Limit of Geometric Sequences)

 

- 첫째항이 r이고, 공비가 r인 등비수열 {rⁿ}은 r의 값에 따라 수렴과 발산이 결정된다.

 

  1) r > 1 이면, lim (n → ∞) rⁿ = ∞.

 

  2) r = 1 이면, lim (n → ∞) rⁿ = 1.

 

  3) | r | < 1 이면, lim (n → ∞) rⁿ = 0.

 

  4) r ≤ -1 이면, lim (n → ∞) rⁿ 은 진동.

 

 

- 등비수열의 수렴조건(Convergence conditions of geometric Sequences).

 

  1) 등비 {rⁿ}의 수렴 조건 -> -1 < r ≤ 1.

 

  2) 등비 {arⁿ}의 수렴 조건 -> a = 0 or -1 < r ≤ 1.

 

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