07. 유리함수(Rational function)

 

7. 1. 유리식(Rational expression)

- 유리식(Rational expression): 두 다항식 A, B(B ≠ 0)에 대하여 A / B 의 꼴로 나타내어지는 식.

 

- B가 상수이면 A / B는 다항식(Polynomial), B가 일차 이상의 다항식이면 A / B는 분수식(Fractional expression).

 

- A / B = (A X C) / (B X C) , A / B = (A ÷ C) / (B ÷ C).

 

 

- 유리식의 사칙연산(Operations with rational expressions).

 

  1) (A / C) + (B / C) = (A + B) / C , (A / C) – (B / C) = (A - B) / C.

 

  2) (A / C) + (B / D) =  (AD + BC) / CD , (A / C) – (B / D) =  (AD - BC) / CD.

 

  3) (A / C) X (B / D) = AB / CD.

 

  4) (A / C) ÷ (B / D) = (A / C) X (D / B) = AD / BC.

 

 

- 덧셈, 뺼셈은 분모를 같게 통분한 뒤 분자끼리 더하거나 빼서 계산한다.

 

  곱셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱한다.

 

  나눗셈은 역수를 취해서 곱한다.

 

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7. 2. 비례식(Proportional expression)

- 두 수 a, b에 대하여 a가 b의 몇 배인가를 나타낼 때 수학기호로 a : b로 나타낸다.

 

 

- 비례식의 성질(Properties of proportional expression).

 

  a : b = c : d = e : f or a / b = c / d = e / f 이면

 

  1) ad = bc. (외항의 곱은 내항의 곱과 같다.)

 

  2) (a + b) / b = (c + d) / d.

 

       (a - b) / b = (c - d) / d.

 

       (a + b) / (a - b) = (c + d) / (c - d).

 

  3) a / b = c / d = e / f = (a + c + e) / (b + d + f) = (pa + qc + re) / (pb + qd + rf).

 

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7. 3. 유리함수(Rational function)

- 유리함수에는 분모가 상수인 다항함수(Polynomial function)와, 분모가 일차 이상의 다항식인 분수함수(Fractional function)가 있다.

 

- 다항함수는 일반적으로 정의역이 실수 전체이고, 분수함수의 정의역은 일반적으로 분모가 0이 되게 하는 값을 제외한 실수 전체이다.

 

 

- y = k / x.

  1) 정의역, 치역은 0을 제외한 실수 전체의 집합이다.

 

  2) 점근선은 x축, y축 이다.

 

  3) k > 0 이면 그래프는 제 1, 3 사분면에 있고, k < 0 이면 그래프는 제 2, 4 사분면에 있다.

 

  4) | k | 의 값이 커질수록 그래프는 원점에서 멀어진다.

 

  5) y = x 에 대하여 대칭이므로 역함수는 자기자신이다. 또한 원점, y = -x에 대해서도 대칭이다.

 

y = k / x

 

 

 

- y = k / (x - p) + q.

  1) y = k / x의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프.

 

  2) 점근선은 x = p, y = q이다.

 

  3) 점 (p, q), y = ± (x - p) + q 에 대하여 대칭이다.

 

y = k / (x - p) + q

 

 

 

- y = (cx + d) / (ax + b).

  1) y = k / (x - p) + q의 꼴로 변형하여 그린다.

 

  2) 점근선 x = -b/a, y = c/a.

 

  3) 위 함수의 역함수는 (-bx + d) / (ax - c) 이다.

       b, c의 부호와 위치만 바꾼다.

 

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