04. 명제(Proposition) - 2

 

4. 1. 증명(Proof)

- 증명(Proof): 정의나 이미 옳다고 밝혀진 성질들을 이용하여 어떤 명제가 참임을 밝혀내는 것.

 

- 명제 p → q가 참임을 증명하는 방법에는 직접증명법과 간접증명법이 있다.

 

- 직접증명법(Direct proof): 명제의 가정에서 출발해 순차적으로 결론에 도달하는 방법.

 

 

- 간접증명법(Indirect proof): 직접증명법으로 증명하기 어렵거나 복잡할 경우, 우회적으로 증명하는 방법.

 

   1) 대우를 이용한 증명법(Proof method using contraposition): 주어진 명제의 대우가 참임을 증명해서 주어진 명제가 참임을 밝히는 방법.

 

    2) 귀류법(Proof by contradiction): 주어진 명제의 결론을 부정하여, 명제의 가정이 모순됨을 보여 명제가 참임을 밝히는 방법.

 

 

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4. 2. 필요조건과 충분조건(Necessary condition and sufficient condition)

- 명제 p → q가 참일 때, 기호로 p ⇒ q와 같이 나타내고, p는 q이기 위한 충분조건(Sufficient condition), q는 p이기 위한 필요조건(Necessary condition)이라 한다.

 

- p ⇒ q이고 q ⇒ p 이면, p는 q이기 위한 필요충분조건(if and only if, iff)이라 하고 기호로 p ⇔ q와 같이 나타낸다.

 

 

- p의 진리집합을 P, q의 진리집합을 Q라고 하면

 

  1) p는 q이기 위한 충분조건 = P ⊂ Q.

 

  2) p는 q이기 위한 필요조건 = Q ⊂ P.

 

  3) p는 q이기 위한 필요충분조건 = P = Q.

 

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4. 3. 절대부등식(Absolute inequality)

- 두 수 또는 두 식의 대소를 비교할 때는 아래 3가지를 이용한다.

 

  1) A – B.

 

  2) A² – B².

 

  3) A / B.

 

 

- 조건부등식(Conditional inequality): 변수가 포함된 부등식에서 특정한 범위의 변수 값에 의해서만 성립하는 부등식.

 

- 절대부등식(Absolute inequality): 변수가 포함된 부등식에서 모든 범위의 변수 값에 의해서 성립하는 부등식.

 

 

- 절대부등식인지 증명할 때 많이 사용하는 성질들.

 

  1) | a |² = a² , | ab | = | a | | b | , | a / b | = | a | / | b |.

 

  2) a³ + b³ + c³ ≥ 3abc.

 

  3) a² + b² + c² – ab – bc – ca ≥ 0.

 

  4) | a | + | b | ≥ | a + b | , | a | - | b | ≤ | a – b |.

 

 

- 산술평균(Arithmetic mean), 기하평균(Geometric mean), 조화평균(Harmonic mean)의 관계.

 

  a > 0, b > 0, c > 0 일 때,

 

  1) (a + b) / 2  ≥  √ab  ≥  2ab / (a + b).

 

  2) (a + b + c) / 3  ≥  ³√abc  ≥  3abc / (ab + bc + ca).

 

 

- 코시 – 슈바르츠 부등식(Cauchy – Schwarz Inequality).

 

   a, b, c, x, y, z가 실수일 때,

 

   1) (a² + b²)(x² + y²)  ≥  (ax + by)².

 

   2) (a² + b² + c²)(x² + y² + z²)  ≥  (ax + by + cz)².

 

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