05. 함수(Function) - 1

 

5. 1. 함수의 정의(Definition of Function)

 

- 두 집합 X, Y가 주어졌을 때, 집합 X의 원소에 집합 Y의 원소를 짝지어 주는 것을 집합 X에서 집합 Y로의 대응(Correspondence)이라고 한다.

 

- 두 집합 X, Y에 대하여 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 꼭 하나씩만 대응할 때, 이 대응을 집합 X에서 Y로의 함수(Function)라고 한다. f : X -> Y

 

 

- 함수가 될 수 없는 경우(Not a function)

 

  1) X의 원소 중에서 대응하지 않고 남아있는 원소가 있을 때.

 

  2) X의 한 원소가 Y의 2개 이상의 원소에 대응될 때.

 

 

- f : X -> Y 에서 집합 X를 정의역(Domain), 집합 Y를 공역(Codomain)이라고 한다.

 

- 함숫값은 집합 X에 대응되는 집합 Y의 1개의 원소를 말하고, 치역(Range)은 함숫값 전체의 집합을 말한다.

 

- 치역 ⊂ 공역.

 

- 두 함수가 정의역과 공역이 각각 같고, 정의역의 모든 원소 x에 대하여 각각 함숫값이 일치할 때, 두 함수는 같다고 말한다.

 

- 함수의 그래프는 정의역의 모든 x에 대하여, y축에 평행한 직선 x = a꼴의 그래프와 오직 한 점에서 만나야 한다.

 

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5. 2. 다양한 함수(Various function)

 

- 일대일 함수(One-to-one function): 서로 다른 임의의 정의역 원소에 대하여 함숫값이 모두 서로 다른 함수.

 

  일대일 함수의 그래프는 항상 증가하거나 감소한다.

 

   y = b(b는 실수) 그래프와 한 점에서 만난다.

 

- 일대일 대응(One-to-one correspondence): 공역과 치역이 같고, 일대일 함수인 함수.

 

- 항등 함수(Identity function): 정의역과 공역이 같고, 정의역의 각 원소에 자기자신이 대응되는 함수.

 

   y = x, 기호로는 I, 항등함수는 일대일 대응이다.

 

- 상수 함수(Constant function): 정의역이 모든 원소가 공역의 하나의 원소에 대응되는 함수.

 

   y = b(b는 실수).

 

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5. 3. 함수의 개수(Number of functions)

 

- 두 집합 X(원소의 개수 N개) -> Y(원소의 개수 M개)로의

 

  1) 함수(Function)의 개수 = M^N.

 

  2) 일대일 함수(One-to-one function)의 개수 = M X (M - 1) X (M - 2) … X (M – N + 1). [M ≥ N]

 

  3) 일대일 대응(One-to-one correspondence)의 개수 = M X (M - 1) X (M - 2) … X 2 X 1. [M = N]

 

  4) 상수함수(Constant function)의 개수 = M.

 

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