09. 등차수열과 등비수열(Arithmetic sequence and Geometric sequence)

 

9. 1. 수열(Sequence)

- 수열(Sequence): 일정한 규칙에 따라 차례로 나열된 수의 열.

 

- 유한수열(Finite sequence): 항의 개수가 유한개인 수열.

 

- 무한수열(Infinite sequence): 항의 개수가 무한인 수열.

 

- 수열은 처음부터 a₁, a₂, a₃, … a_n … 으로 나타내고, 앞부터 첫째항, 둘째항, 셋째항 … n째항이라하며, a_n을 수열의 일반항(General term of a sequence) 이라고 부른다.

 

- 수열을 표현할 때 일반적으로 {a_n} 으로 표현한다.

 

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9. 2. 등차수열(Arithmetic sequence)

- 등차수열(Arithmetic sequence)은 첫째항부터 일정한 수를 더해서 얻어지는 수열을 말하고, 일정한 수를 공차(Common difference)라고 한다.

 

- 등차수열에서 일반적으로 첫째항(First term)은 a로, 공차(Common difference)는 d로 표현한다.

 

  a_n+1 = a_n + d , a_n = a + (n - 1)d.

 

  ex) 1, 5, 9, 13, 17… , a_n = 4n – 3.

 

- 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열이면 b를 a, c의 등차중항(Arithmetic mean)이라고 부른다.

 

  b = (a + c) / 2.

 

- 조화수열(Harmonic sequence): 수열에서 각 항의 역수의 수열이 (1/a₁, 1/a₂, 1/a₃ …) 등차수열을 이룰 때, 이 주어진 수열을 조화수열이라고 부른다.

 

 

- 등차수열의 합, (Sum of first n terms of arithmetic sequence formula, S_n).

 

  1) 첫째항 a와 공차 d를 알 때: n{2a + (n - 1)d} / 2.

 

  2) 첫째항 a와 제 n항 l을 알 때: n(a + l) / 2.

 

 

- a₁ = S₁ , a_n = S_n – S_n-1.

 

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9. 3. 등비수열(Geometric sequence)

- 등비수열(Geometric sequence)은 첫째항부터 일정한 수를 곱해서 얻어지는 수열을 말하고, 일정한 수를 공비(Common ratio)라고 한다.

 

- 등비수열에서 일반적으로 첫째항(First term)은 a로 공비(Common ratio)는 r로 표현한다.

 

   a_n+1 = ra_n ,  a_n = ar^n-1.

 

- 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열이면 b를 a, c의 등비중항(Geometric mean)이라고 부른다.

 

   b² = ac.

 

 

- 등비수열의 합(Sum of first n terms of geometric sequence formula, Sn).

 

  1) r ≠ 1일 때, S_n = a(rⁿ - 1) / (r - 1) = a(1 - rⁿ) / (1 - r).

 

  2) r = 1일 때, S_n = na.

 

 

- a₁ = S₁ , a_n = S_n – S_n-1.

 

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