06. 함수(Function) - 2

 

6. 1. 합성함수(Composite function)

- 두 함수 f : X -> Y, g : Y -> Z의 합성함수는 기호로 gㅇf : X -> Z 로 나타내고 일반적으로 (gㅇf)(x) = g(f(x))로 표현한다.

 

- g(f(x))에서 f의 치역은 g의 정의역의 부분집합이어야 한다.

 

- g(f(x))의 정의역은 f의 정의역과 같고, 공역은 g의 공역과 같다.

 

 

- 합성함수의 성질(Properties of composite function).

 

  1) gㅇf ≠ fㅇg.  ->  교환법칙 성립 X.

 

  2) hㅇ(gㅇf) = (hㅇg)ㅇf = h(g(f(x))). ->  결합법칙 성립 O.

 

  3) Iㅇf = fㅇI = f. [I is identity function]

 

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6. 2. 역함수(Inverse function)  

- f : X -> Y가 일대일 대응일 때, 역함수(Inverse function) f^-1 : Y -> X가 존재한다.

 

   y = f(x), x = f^-1(y). ⇔ f(a) = b, f(b)^-1 = a.

 

- f의 역함수가 존재하면 f는 일대일 대응이고, f^-1도 일대일 대응이다.

 

- 함수 f^-1의 정의역은 f의 치역이고, f^-1의 치역은 f의 정의역이다.

 

 

- 역함수를 구하기(Finding inverse functions).

 

  1) 일대일 대응인지 확인.

 

  2) x에 대하여 정의하기.

 

  3) x와 y를 바꾸기.

 

 

- 역함수의 성질(Properties of inverse function). [ I is identity function, f : X -> Y, g : Y -> X]

 

  1) (f^-1)^-1 = f.

 

  2) (f^-1ㅇf)(x) = x, 즉, f^-1ㅇf = I.

 

  3) (fㅇf^-1)(y) = y, 즉, fㅇf^-1 = I.

 

  4) fㅇg = I. ⇔ f = g^-1 , g = f^-1.

 

  5) (gㅇf)^-1 = f^-1ㅇg^-1, (fㅇg)^-1 = g^-1ㅇf^-1.

 

  6) (hㅇgㅇf)^-1 = f^-1ㅇg^-1ㅇh^-1.

 

- y = f(x)와 y = f^-1(x)의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이다.

 

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