03. 명제(Proposition) - 1

 

3. 1. 명제와 조건(Proposition and Condition)

- 명제(Proposition): 내용이 참인지 거짓인지 분명하게 구분할 수 있는 문장이나 식(p, q, r …).

 

- 명제의 부정(Negation of proposition): 명제 p에 대하여 p가 아니다를 명제 p의 부정이라 부르고 기호는 ~p를 쓴다.

 

   p가 참이면 ~p는 거짓이고, p가 거짓이면 ~p는 참이다.

 

   ~(~p) = p.

 

- 부정을 만들 때, 전체집합은 고정이다.

 

- 조건(Condition): 변수를 포함하고, 변수의 값에 따라 참과 거짓이 결정나는 문장이나 식(p(x), q(x), r(x) …).

 

- 진리집합(Truth Set): 조건 p가 참이 되도록 하는 원소들의 집합.

 

- 조건의 부정(Negation of condition): p(x)에 대하여 조건 p가 아니다를 ~p(x) or ~p로 표현한다.

 

- p(x)의 진리집합을 P라 하면, ~p(x)의 진리집합은 P^c 이다.

 

 

- p(x)와 q(x)의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면

 

 1) p(x) 또는 q(x), p(x) or q(x)의 진리집합 = P ∪ Q.

 

 2) p(x) 그리고 q(x), p(x) and q(x)의 진리집합 = P ∩ Q.

 

 3) p(x) 또는 q(x)의 부정 = ~p(x) 그리고 ~q(x).

     p(x) 그리고 q(x)의 부정 = ~p(x) 또는 ~q(x).

 

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3. 2. 명제 p → q(Proposition p → q)

- 두 조건 p, q에 대하여 ‘p이면 q이다, If p then q.’ 를 p → q 와 같이 나타낸다.

 

   조건 p를 가정(Assumption), q를 결론(Conclusion)이라고 부른다.

 

- p → q가 거짓임을 보일 때는 반례(Conunterexample)를 들어야 하고, 이 때 반례는 p에는 속하지만 q에는 속하지 않는 원소이며, 진리집합 P – Q에 있는 원소이다.

 

- 명제 p → q가 참이면 P ⊂ Q이다.

 

- 명제 모든(all) x에 대하여 p(x) 이다. -> P = U 이면 참, P ≠ U 이면 거짓.

 

- 명제 어떤(some) x에 대하여 p(x) 이다. -> P ≠ Ø이면 참, P = Ø이면 거짓.

 

 

- 명제 모든(all) x에 대하여 p(x) 이다. 의 부정 -> 어떤(some) x에 대하여 ~p(x) 이다.

 

- 명제 어떤(some) x에 대하여 p(x) 이다. 의 부정 -> 모든(all) x에 대하여 ~p(x) 이다.

 

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3. 3. 명제의 역과 대우(Converse and contraposition of proposition)

- 역(Converse)은 가정과 결론을 바꾼 명제이고, 대우(Contraposition)는 가정과 결론을 부정하고 가정과 결론을 바꾼 명제이다.

 

- 명제: p → q, 역: q → p, 대우: ~q → ~p.

 

- 명제와 대우의 참, 거짓은 항상 일치한다.

 

- 삼단논법(Syllogism): p → q가 참이고 q → r이 참이면 p → r도 참이다.

 

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