05. 이차함수와 이차방정식(Quadratic functions and quadratic equations) - 1

 

5. 1. 이차방정식의 성질(Properties of quadratic equations)

ax² + bx + c = 0에 대하여

 

- 판별식(Discriminant): D = b² – 4ac. [a, b, c가 실수일 때]

 

   D > 0 이면 서로 다른 두 실근, D = 0 이면 중근, D < 0이면 서로 다른 두 허근을 가진다.

 

 

- 두 근의 합: -b/a.

  두 근의 곱: c/a.

 

 

- 모든 이차식은 복소수 범위내에서 일차식의 곱으로 인수분해 할 수 있다.

 

  1) 이차항의 계수가 1인 이차방정식의 두 해를 p와 q라고 할 때,

    (x - p)(x - q) = 0, x²– (p + q)x + pq = 0.

 

  2) 이차항의 계수가 a인 이차방정식의 두 해를 p와 q라고 할 때,

    a(x - p)(x - q) = 0, a{x² – (p + q)x + pq} = 0.

 

 

- 이차방정식의 켤레근.

 

  1) 계수가 유리수 일 때, a + b√c가 근이면 a - b√c도 근이다.

 

  2) 계수가 실수 일 때, a + bi가 근이면, a – bi도 근이다.

 

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5. 2. 이차함수와 이차방정식의 관계(Relationship between quadratic functions and quadratic equations)

- 이차함수 구하기(Find a quadratic function).

 

1) 꼭짓점 (m, n)이 주어지면 -> y = a(x-m)² + n.

 

2) 세 점이 주어지면 -> y = ax² + bx + c.

 

3) x축과의 교점 p, q가 주어지면 -> y = a(x - p)(x - q).

 

 

- 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축과의 교점의 x좌표.

 

   = 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 실근.

 

 

- 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프의 축의 위치는 x = -b/2a.

 

 

- 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 판별식을 D = b² - 4ac라고 하면

 

1) D > 0이면 이차방정식은 2개의 실근을 갖고, 이차함수로 표현할 때 x축과 2개의 좌표에서 만난다.

 

2) D = 0이면 이차방정식은 중근을 갖고, 이차함수로 표현할 때, x축과 접한다.

 

3) D < 0이면 이차방정식은 2개의 허근을 갖고, 이차함수로 표현할 때 x축과 만나지 않는다.

 

 

- 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 직선 mx + n의 교점을 구할 때는

 

  이차방정식 ax² + (b – m)x + c - n = 0으로 바꾸고 이 이차방정식의 판별식을 D라고 할 때

 

1) D > 0이면 이차함수와 직선의 교점의 개수는 2개이고, 위 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

 

2) D = 0이면 이차함수와 직선의 교점의 개수는 1개(접한다.)이고, 위 이차방정식은 중근을 갖는다.

 

3) D < 0이면 이차함수와 직선의 교점의 개수는 없으며, 위 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

 

 

- 이차함수 y = ax² + bx + c (a > 0)와 임의의 실수 k에 대하여

 

  1) 두 근이 모두 k보다 크면 D ≥ 0, -b/2a > k, f(k) > 0.

 

  2) 두 근이 모두 k보다 작으면 D ≥ 0, -b/2a < k, f(k) > 0.

 

  3) 두 근 사이에 k가 오면 f(k) < 0.

 

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