06. 이차함수와 이차방정식(Quadratic functions and quadratic equations) - 2 / 07. 다양한 방정식(Various equations) - 1

 

6. 1. 이차함수의 최대 최소(Maximum and minimum value of quadratic functions)

 

(이차함수의 최대 최소, Maximum and minimum value of quadratic functions)

 

- 함수에서 정의역의 제한이 없을 때 최솟값, 최댓값은 대칭축의 함숫값 f(-b/2a)이다.

 

- 함수 f(x) = A(x - m)² + n에서 정의역이 a ≤ x ≤ b로 제한될 때

 

1) a ≤ m ≤ b이면 f(a), f(b), f(m)중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

 

2) m < a 또는 m > b 이면 f(a), f(b)중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

 

 

 

(이차식의 최대 최소, Maximum and minimum value of quadratic equations)

 

- 조건이 주어지지 않은 이차식의 최대 최소(Maximum and minimum value of unconditional quadratic equations)는, 각각의 문자에 대하여 완전제곱식으로 변형한 후 실수의 제곱은 ≥ 0 임을 이용해서 구한다.

 

- 조건이 주어진(문자간의 관계식) 이차식의 최대 최소(Maximum and minimum value of conditional quadratic equations)는, 조건식을 이용해서 하나의 문자에 대하여 정리하고, 이차함수의 최대 최소를 이용해서 구한다.

 

 이 때, 조건식이 이차식일 경우에는 대표가 되는 문자의 값의 범위부터 구한다.

 

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7. 1. 고차방정식(Equation of higher degree polynomial)

- 3차 이상의 다항식일 때, 고차 방정식이라고 부른다.

 

- 고차방정식의 해는 이차 이하의 다항식의 곱으로 인수분해해서 구한다.

 

- 복이차방정식(Compound quadratics): 모든 항의 차수가 짝수인 항과 상수항으로만 이루어진 4차 방정식.

 

- 상반방정식(Symmetrical equation): ax³ + bx² + bx + a = 0, ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0 처럼 계수가 좌우대칭인 방정식.

 

 

 

(고차방정식의 풀이, Solving higher degree polynomials)

 

1) 공통 부분이 있으면 치환하여 푼다.

 

2) 복이차방정식은 x² = X로 치환하거나 A² - B²의 꼴로 변형하여 푼다.

 

3) 3차 상반방정식은 항상 x = -1이 해가 되고, 이를 조립제법에 대입하여 푼다.

 

4) 4차 상반방정식은 등식의 양변을 x²으로 나누고, x + 1/x = X 로 치환하여 푼다.

 

5) 일반적인 고차방정식의 풀이는 조립제법을 이용해서 푼다.

 

 

 

(삼차방정식의 성질, properties of cubic equations)

 

- 삼차방정식의 근이 허수인지, 실수인지 판별할 때는 일차식 X 이차식의 형태로 바꾸고, 이차식에 판별식을 적용한다.

 

 

- ax³ + bx² + cx + d = 0의 세 근을 p, q, r이라고 할 때,

 

1) p + q + r = -b/a.

 

2) pq + qr + rp = c/a.

 

3) pqr = -d/a.

 

 

- x³ – (p + q + r)x² + (pq + qr + rp)x - pqr = 0.

 

- 삼차방정식에도 켤레근의 성질은 동등하게 적용된다.

 

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