03. 복소수(Complex number)

 

3. 1. 복소수(Complex number)

- 실수범위에서 제곱하여 음수가 되는 수는 없다.

 

 

- 제곱하여 -1 이 되는 수를 √-1 이라 하고, 문자 i로 표기하며, 허수단위(Imaginary unit)라고 부른다.

 

   √-1 = i, -1 = i².

 

   √-a = √ai, (√ai)² = -a.

 

 

- 복소수(Complex number)는 실수(Real number)와 허수(Imaginary number)를 포함하는 수체계이다.

 

  복소수 표기방법: a + bi  (a: 실수, b: 허수).

 

 

- b = 0일 때 실수가 되고, b ≠ 0일 때 허수가 되며 특히 허수 중에서 a = 0이면 순허수(pure imaginary number)라고 부른다.

 

- i는 제곱할 때 마다 i  ->  -1  ->  -i  ->  1 사이클로 순환한다.

 

- 복소수 z가 실수이면 z² ≥ 0 조건이 성립되고, 복소수 z가 순허수이면 z² < 0 조건이 성립된다.

 

---

 

3. 2. 켤레복소수(Conjugate complex number)

- 복소수 z = a + bi에 대하여 허수부분의 부호를 바꾼 a – bi를 z의 켤레복소수(Conjugate complex number)라 부른다.

 

- 켤레복소수의 성질 (Properties of conjugate complex number).

 

---

 

3. 3. 복소수의 사칙연산(Operations of complex number)

실수 a, b, c, d 에 대하여

 

1) 덧셈(Addition): (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i.

 

2) 뺄셈(Subtraction): (a + bi) - (c + di) = a – c + (b - d)i.

 

3) 곱셈(Multiplication): (a + bi)(c + di) = ac – bd + (ad + bc)i.

 

4) 나눗셈(Division): (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c - di) / (c + di)(c - di) = (ac + bd) / (c² + d²) + (bc – ad)i / (c² + d²).

 

나눗셈은 분모의 켤레복소수를 분모와 분자에 곱하여 분모를 실수화 해준다.

 

---

 

3. 4. 복소수가 서로 같을 조건(Equality of two complex number)

실수 a, b, c, d 에 대하여

 

1) a + bi = c + di 이면 a = c, b = d 이어야 한다(실수는 실수끼리, 허수는 허수끼리 비교한다).

 

2) a + bi = 0이면 a = b = 0이어야 한다.

 

---