01. 다항식(Polynomial) - 1

 

1. 1. 다항식의 연산(Operations of polynomials)

- 단항식(Monomial): 수나 문자들의 곱으로 이루어진 단 하나의 식.

 

- 다항식(Polynomial): 단항식들의 조합으로 이루어진 식.

 

- 내림차순(Descending order): 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 정리.

 

- 오름차순(Ascending order): 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 정리.

 

- 3xy에서 문자 y를 기준으로 하면, y에 대한 1차항이 되고 계수는 3x이다.

 

 

- 다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈(Addition, subtraction, multiplication of polynomials).

 

1) 덧셈과 곱셈은 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

	덧셈	곱셈
교환법칙	A + B = B + A	AB = BA
결합법칙	(A + B) + C = A + (B + C)	(AB)C = A(BC)
분배법칙	A(B + C) = AB + AC

 

2) 덧셈, 뺼셈, 곱셈으로 이루어진 다항식을 정리할 때, ( ) -> { } -> [ ] 순으로 식을 전개하고, 한 문자에 대하여 내림차순으로 분류하고, 동류항끼리 모아서 정리한다.

 

 

- 다항식의 나눗셈(Division of polynomials).

 

1) f(x)를 g(x)로 나눌 때, 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라고 하면 식은 f(x) = g(x)Q(x) + R(x)으로 표현할 수 있다.

 

2) 다항식의 나눗셈을 할 때, g(x)의 차수는 항상 R(x)의 차수보다 커야 한다.

   f(x)의 차수를 N, g(x)의 차수를 M이라고 할 때, Q(x)의 차수는 N-M이고, R(x)의 차수는 M-1이하이다.

 

3) R(x) = 0일 경우, f(x)는 g(x)로 나누어 떨어진다.

 

4) 다항식을 x - a꼴의 일차식으로 나눌 때, 계수만을 사용하여 몫과 나머지를 구하는 방법을 조립제법(Synthetic division)이라고 부른다.

 

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1. 2. 곱셈공식(Multiplication formula)

- 곱셈공식(Multiplication formula).

1) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

    (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

 

2) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca).

 

3) (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³.

    (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³.

 

4) (x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc.

 

5) a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc.

 

 

- 곱셈공식의 변형(Variations of the multiplication formula).

 

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