17. 편도함수(Partial Derivative)

 

17. 1. 다변수 함수(Function of Several Variables)

 

- y = f(x) 처럼 이변수 함수(Function of Two Variables)와는 달리, z = f(x, y) 처럼 3개 이상의 변수로 구성된 함수를 다변수 함수(Function of Several Variables)라 부른다.

 

- 이변수 함수를 2차원 좌표계에 표현하듯 삼변수 함수는 3차원 좌표계에 표현할 수 있다.

 

 

- 다변수 함수에서도 극한(Limit)을 정의할 수 있다.

 

  lim ( (x, y) → (a, b) ) f(x, y) = A.

 

- (x, y)에서 (a, b)로 가능 경로는 무수히 많은데 경로 C₁ 과 경로 C₂ 로 갔을 때의 극한 값이 서로 같다면 극한 값이 존재(Convergence)하고, 서로 같지 않다면 극한 값은 존재하지 않는다(Divergence).

 

 

- 다변수 함수에서도 (a, b)에서 Limit Value = Function Value 가 같으면 그 점에서는 Continuity이다.

 

---

 

17. 2. 편도함수(Partial Derivative)

 

- 편도함수(Partial Derivative, ∂): 함수가 다변수 함수 일 때, 한 변수만을 변수라 생각하고, 나머지 변수는 상수로 생각하여 미분하는 방법.

 

- f_x (x, y) = lim (h → 0) ( f(x + h, y) – f(x, y) ) / h.

 

- f_y (x, y) = lim (h → 0) ( f(x, y + h) – f(x, y) ) / h.

 

 

- f_x (x, y) = f_x = ∂f / ∂x.

 

- f_y (x, y) = f_y = ∂f / ∂y.

 

 

- 이계 편도함수(Second Partial Derivative)

 

1) f_xx -> f를 x에 관하여 편미분하고, x에 관하여 한번 더 편미분한다.

 

2) f_xy -> f를 x에 관하여 편미분하고, y에 관하여 한번 더 편미분한다.

 

3) 클레로의 정리(Clairaut’s Theorem): f_xy (a, b) = f_yx (a, b).

 

---

 

17. 3. 전미분(Total Differential)

 

- 미분가능성(Differentiability): 두 편도함수 f_x와 f_y가 (a, b)에서 존재하고, (a, b)에서 연속일 때, f는 (a, b)에서 미분이 가능하다.

 

- 전미분(Total Differential): z = f(x, y)에서 dz를 구하는 방법.

 

  dz = f_x dx + f_y dy. = ( ∂z/∂x ) dx + ( ∂z/∂y ) dy.

 

---

 

17. 4. 이중적분(Double Integral)

 

- 3변수 함수에 대해서 적분을 적용할 수 있다.

 

 ∫_a^b∫_c^d f(x, y) dydx -> y에 대하여 먼저 적분하고, x에 대하여 적분을 수행한다.

 

- 푸비니의 정리(Fubini’s Therorem): ∫_a^b∫_c^d f(x, y) dydx = ∫_c^d∫_a^b f(x, y) dxdy.

 

---