15. 매개곡선, 좌표공간(Parametric Curve, Coordinate Space)

 

15. 1. 매개곡선(Parametric Curve)

 

- 매개방정식(Parametric Equation): x와 y가 모두 제 3의 변수인 t의 함수로 표현될 때의 방정식.

 

  ex) x = f(t), y = g(t).

 

- 매개곡선(Parametric Curve): t의 값이 변함에 따라 점 (x, y) 가 그리는 곡선.

 

 

- 매개방정식의 미분(Differential of Parametric Equation)

 

  dy / dx = (dy/dt) / (dx/dt).

 

  d²y / dx² = (d (dy / dx) /dt) / (dx / dt).

 

 

- 넓이(Area)

 

  a부터 b까지, y = F(x) 아래의 넓이는 ∫_a^b F(x) dx 이다. 곡선이 x = f(t), y = g(t)로 주어지고, t가 c ≤ t ≤ d 일 때, 치환법칙을 이용해서 앞의 공식을 아래처럼 수정할 수 있다.

 

  A = ∫_a^b y dx = ∫_c^d g(t)f’(t) dt.

 

 

- 호의 길이(Arc Length)

 

  곡선 C가 Parametric Equation x = f(t), y = g(t) [a ≤ t ≤ b]로 정의될 때 C의 길이 L은

 

  L = ∫_a^b√( (dx/dt)² + (dy/dt)² ) dt.

 

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15. 2. 좌표공간(Coordinate Space)

 

 

 

- 평면에서는 x축, y축을 사용하듯, 공간에서는 x-axis, y-axis, z-axis의 3개의 좌표축을 사용한다.

 

- x축 y축을 포함하는 평면을 xy-plane, y축 z축을 포함하는 평면을 yz-plane, z축 x축을 포함하는 평면을 zx-plane이라 부르고, 이들 세 평면을 통틀어 좌표평면이라 부른다.

 

3개의 좌표축과 3개의 좌표평면이 존재하는 공간을 좌표공간(Coordinate Space)이라 부른다.

 

 

- Two Point A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) Length

 

  √{ (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)² }.

 

- Center이 (a, b, c), Length of Radius r, Equation of a Sphere

 

  (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r².

 

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