13. 적분판정법과 비교판정법(Integral Test and Comparison Test)

 

13. 1. 적분판정법과 비교판정법(Integral Test and Comparison Test)

 

- 일반적으로 급수의 합을 구하는 것은 어렵다. 하지만 급수의 합을 명확하게 찾지 않고도 급수가 수렴하는지 발산하는지 결정할 수 있다.

 

1) 적분판정법(Integral Test)

 

함수 f(x)가 연속이고, 양수이며, 감소한다고 할 때, a_n = f(n)이라 하면,

 

  - ∫(1 → ∞) f(x) dx가 수렴하면, Σ (n = 1 → ∞) a_n 은 수렴한다.

 

  - ∫(1 → ∞) f(x) dx가 발산하면, Σ (n = 1 → ∞) a_n 은 발산한다.

 

  굳이 1에서 시작할 필요는 없다. n = 2이면 2부터 시작하면 된다.

 

 

2) p Series Σ (n = 1 → ∞) 1 / n^p 는 p > 1일 때는 수렴하고, p ≤ 1 일 때 발산한다.

 

 

3) 비교 판정법(Comparison Test)

 

a_n 과 b_n 이 양수인 급수에서

 

- Σ b_n 이 수렴하고 모든 n에 대해 a_n ≤ b_n 이면, Σ a_n 도 수렴한다.

 

- Σ b_n 이 발산하고 모든 n에 대해 a_n ≥ b_n 이면, Σ a_n 도 발산한다.

 

 

4) 극한 비교 판정법(Limit Comparison Test)

 

a_n 과 b_n 이 양수인 급수이고, 양수인 c에 대하여

 

lim (n → ∞) ( a_n / b_n ) = c.

 

그러면 두 급수는 모두 수렴하거나 모두 발산한다.

 

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13. 2. 다양한 판정법(Various Test)

 

1) 교대 급수 판정법(Alternating Series Test)

 

Alternating Series Σ (n = 1 → ∞) (-1)^n-1b_n 이 있을 때,

 

a) 모든 n에 대해 b_n+1 ≤ b_n 이다.

 

b) lim (n → ∞) b_n = 0.

 

위 2가지 조건을 만족하면 주어진 급수는 수렴한다.

 

 

2) 절대수렴(Absolute Convergence): Σ a_n 에 절대값을 씌운 Σ | a_n | 이 수렴할 때, Σ a_n 은 Absolute Convergence 한다고 말한다.

 

  - 절대수렴하면 항상 수렴한다.

 

- 조건수렴(Conditional Convergence): Σ a_n 이 수렴하지만, Σ | a_n | 이 수렴하지 않는 경우.

 

 

3) 비율판정법(Ratio Test)

 

a) lim (n → ∞) | a_n+1 / a_n | = L < 1 일 때, Σ (n = 1 → ∞) a_n 은 Absolute Convergence.

 

b) lim (n → ∞) | a_n+1 / a_n | = L > 1 or lim (n → ∞) | a_n+11 / a_n | = ∞일 때, Σ (n = 1 → ∞) a_n 은 Divergence.

 

c) lim (n → ∞) | a_n+1 / a_n | = 1이면, 수렴인지 발산인지 결정할 수 없다.

 

 

4) 거듭제곱근 판정법(Root Test)

 

a) lim (n → ∞) ⁿ√| a_n | = L < 1 일 때, Σ (n = 1 → ∞) a_n 은 Absolute Convergence.

 

b) lim (n → ∞) ⁿ√| a_n | = L > 1 or lim (n → ∞) ⁿ√| a_n | = ∞일 때, Σ (n = 1 → ∞) a_n 은 Divergence.

 

c) lim (n → ∞) ⁿ√| a_n | = 1이면, 수렴인지 발산인지 결정할 수 없다.

 

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