16.내적, 외적(Cross Product, Inner Product)

 

16. 1. 벡터(Vector)

 

- 크기만을 갖는 물리량을 스칼라(Scalar), 크기와 방향을 갖는 물리량을 벡터(Vector)라 부른다.

 

- 선분을 표시할 때는 선분 문자 위에 ( - ) 작대기를, 벡터를 표현할 때는 문자 위에 (→) 화살표를 그린다.

 

 

- 점 A에서 출발해 점 B로 향하는 벡터를 vector AB(원래는 문자 위 화살표 표시 필요)라 표현한다.

 

- 점 A를 시점(Initial point), 점 B를 종점(Terminal Point)이라 부르고, vector AB의 크기(Length)는 | vector AB | 로 나타낸다.

 

- 단위벡터(Unit Vector): 크기가 1인 벡터.

 

 

- 벡터의 덧셈과 뺄셈(Addition and Subtraction of Vector).

 

 

 

- 좌표평면 위에 있는 임의의 점 A(a₁ , a₂)의 Position Vector를 a라 하면 a = (a₁ , a₂) 라 표현할 수 있고 a₁ 과 a₂를 벡터 a의 성분(Component of a)이라 부른다.

 

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16. 2. 내적(Inner Product)

 

 

- vector a, vector b의 내적(Dot Product)은 a · b = | a | | b | cos θ. [0° ≤ θ ≤ 180°]

 

- a = (a₁ , a₂), b = (b₁ , b₂)  =>  a · b = a₁b₁ + a₂b₂ .

 

- cos θ = a · b / | a | | b | .

 

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16. 3 외적(Cross Product or Outer Product)

 

- Cross Product는 Inner Product와 달리 결과가 Vector이다.

 

- a = <a₁, a₂, a₃> 이고, b = <b₁, b₂, b₃> 일 때,

 

 a X b = <a₂b₃ – a₃b₂ , a₃b₁ – a₁b₃ , a₁b₂ – a₂b₁>.

 

 

- Properties of Cross Product

 

  1) vector A X B는 vector A와 B에 Orthogonal 하다.

 

  2) | a X b | = | a | | b | sin θ. [0° ≤ θ ≤ 180°]

 

  3) Vector a와 b가 평행하기 위한 조건은 a X b = 0.

 

  4) a X b 의 길이는 a와 b로 결정되는 평행 사변형의 넓이와 같다.

 

  5) Vector a, b, c로 결정되는 평행 육면체의 부피는 V = | a · (b X c) |.

 

      만약, 평행 육면체의 부피가 0이면 3개의 vector는 같은 평면에 있다.

 

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16. 4. 직선과 평면의 방정식(Equation of a Straight Line and a Plane)

 

- 점 A(x₁ , y₁, z₁) 을 지나고 vector u = (a, b, c) 에 평행한 직선의 방정식

 

  x = x₁ + at, y = y₁ + bt, z = z₁ + ct.

 

  (x – x₁) / a = (y – y₁) / b = (z – z₁) / c.

 

 

- 평면의 방정식(Equations of Planes)

 

  점 A(x₁ , y₁ , z₁) 을 지나고 vector n = (a, b, c) 에 수직인 평면의 방정식

 

  a(x – x₁) + b(y – y₁) + c(z – z₁) = 0.

 

  ax + by + cz + d = 0

 

 

- 점과 평면 사이의 거리(Distance Between Point and Plane)

 

  점 A(x₁ , y₁ , z₁) 와 평면 ax + by + cz + d = 0 사이의 거리는

 

  | ax₁ + by₁ + cz₁ + d| / √(a² + b² + c²).

 

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